Mathematik verstehen 8, Schulbuch

20 1 Stammfunkt ion und Integral 1 . 5 Sätze über Integrale Grundlegende Sätze Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede stetige Funktion e ine Stammfunktion besitzt. Dass dies zutrifft, werden wir im Kapitel 3 genauer begründen. Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig und es sei c * R . Dann gilt: ​ : a ​ b ​ c · f = c · ​ : a ​ b ​ f​ Beweis : Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist c · F eine Stammfunktion von c · f. Damit gilt: ​ : a ​ b ​ c · f​= (c · F)(b) – (c · F)(a) = c · F(b) – c · F(a) = c · [F(b) – F(a)] = c · ​ : a ​ b ​ f​  Satz Die reellen Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig. Dann gilt: ​ : a ​ b ​ (f + g) = ​ : a ​ b ​ f + ​ : a ​ b ​ g​ Beweis : Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann ist F + G eine Stammfunktion von f + g. Damit gilt: ​ : a ​ b ​ (f + g)​ = (F + G)(b) – (F + G)(a) = [F(b) + G(b)] – [F(a) + G(a)] = = [F(b) – F(a)] + [G(b) – G(a)] = ​ : a ​ b ​ f + ​ : a ​ b ​ g​  Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; c] stetig und es sei a < b < c. Dann gilt: ​ : a ​ b ​ f​+ ​ : b ​ c ​ f​= ​ : a ​ c ​ f​ Beweis : Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ​ : a ​ b ​ f​+ ​ : b ​ c ​ f​= [F(b) – F(a)] + [F(c) – F(b)] = F(c) – F(a) = ​ : a ​ c ​ f​  Dieser Satz ist anschaulich einleuchtend, wenn man die Integrale wie in der Abbildung als Flächeninhalte deutet. Aufgaben 1 . 33 Die Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig und es seien c, d * R . Beweise: a) ​ : a ​ b ​ (– f)​= – ​ : a ​ b ​ f​ b) ​ : a ​ b ​ (c · f + d · g)​= c · ​ : a ​ b ​ f + d · ​ : a ​ b ​ g​ c) ​ : a ​ b ​ (c · f – d · g)​= c · ​ : a ​ b ​ f – d · ​ : a ​ b ​ g​ R b a c f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv