Mathematik verstehen 8, Schulbuch

195 AUFGABEN VOM TYP 2 11 . 53 Hängebrücke Eine Hängebrücke führt über eine Schlucht. Der stählerne Brückenbogen trägt zwei über einan- der liegende, an Stahlseilen hängende Fahrbahnen, eine für Züge und eine für Autos. Der Brü- ckenbogen kann durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden, wobei gilt: Der Abstand der beiden Aufhängepunkte A und B beträgt 50m. Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 30m über der horizontalen Verbindungsstrecke der Punkte A und B. Das längste Halteseil, das die Zugfahrbahn trägt, hat eine Länge von 19,2m. Die Länge der Autofahrbahn innerhalb des Brückenbogens (von E bis F) beträgt 30m. Aufgabenstellung: a) 1) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie eine Termdarstellung der Funktion f an, die den Brückenbogen beschreibt! 2) Geben Sie die Koordinaten des höchsten Punktes des Brückenbogens in diesem Koordina- tensystem an! b) 1) Berechnen Sie die Länge der Zugfahrbahn innerhalb des Brückenbogens (von C bis D)! 2) Ermitteln Sie den vertikalen Abstand der Autofahrbahn von der Zugfahrbahn! 11 . 54 Polynomfunktionen vom Grad 2 Wir betrachten Polynomfunktionen vom Grad 2. Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie an, wie man die Graphen solcher Funktionen nennt! 2) Geben Sie an, wie viele Nullstellen eine solche Funktion höchstens haben kann! b) 1) Ermitteln Sie, für welche Werte a * ℝ die Funktion f mit f(x) = x 2 – 3ax + 18 genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle besitzt! 2) Geben Sie jeweils eine Bedingung so an, dass die Funktion g mit g(x) = x 2 + ax + b genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle besitzt! 11 . 55 Exponentialfunktionen Gegeben ist eine Exponentialfunktion f der Form f(x) = a x (mit a > 0). Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für alle x * ℝ gilt: f(x + 1) = a · f(x). 2) Prüfen Sie, welche der folgenden Beziehungen für alle x, y * ℝ gelten! Beweisen Sie die geltenden Beziehungen und widerlegen Sie die übrigen durch Gegenbeispiele! (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (3) f(x + y) = f(x) · f(y) (2) f(x · y) = f(x) · f(y) (4) f(x · y) = f(x) + f(y) b) 1) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen dem Graphen von g: x ¦ 2 1 _ a 3 x und dem Graphen von f besteht! Begründen Sie Ihre Aussage durch Rechnung! 2) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Graphen von g und f! FA-R 1 . 4 FA-R 1 . 6 FA-R 3 .1 A B D F C E AG-R 2 . 3 FA-R 3 .1 FA-R 4 . 4 AG-R 2 .1 FA-R 1 . 6 FA-R 5 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv