Mathematik verstehen 8, Schulbuch

18 1 Stammfunkt ion und Integral 1 . 4 Berechnen von Integralen Berechnung mit Stammfunktionen Bisher konnten wir Integrale nur näherungsweise mit Hilfe von Ober-, Unter- oder Zwischen- summen berechnen. In diesem Abschnitt lernen wir eine bequemere Methode kennen, die häufig anwendbar ist. Satz Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: : a b f(x) dx = F(b) – F(a) Begründung: Wir betrachten eine Zerlegung Z = (x 0 ‡ x 1 ‡ x 2 ‡ … ‡ x n ) des Intervalls [a; b] und setzen Δ F i = F(x i + 1 ) – F(x i ). In der Abbildung ist dies für eine streng monoton steigende Stammfunktion F veranschaulicht, die folgenden Überlegungen gelten aber auch, wenn F nicht monoton ist. Wir gehen in mehreren Schritten vor: 1 . Schri tt : Die Steigung von F in einem Teilungspunkt x i beträgt: F’(x i ) = Δ F i _ Δ x i Daraus folgt: Δ F i ≈ F ’(x i ) · Δ x i = f(x i ) · Δ x i 2 . Schri tt : Es gilt: F(b) – F(a) = ; i = 1 n Δ F i ≈ ; i = 1 n f(x i ) · Δ x i 3 . Schri tt : Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner die Längen Δ x i sind. Wenn die „Feinheit“ der Zerlegung (dh. die Länge des größten Teilintervalls) gegen 0 strebt, ergibt sich: F(b) – F(a) = : a b f(x) dx  1 . 24 Berechne: : 1 3 x 2 dx Lösung: Eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 ist die Funktion F mit F(x) = x 3 _ 3 . Damit ergibt sich nach dem obigen Satz: : 1 3 x 2 dx= F(3) – F(1) = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Zur Abkürzung verwendet man folgende Schreibweise: F(x ) 1 a b = F(b) – F(a) Unter Verwendung dieser Schreibweisen sieht die Berechnung des Integrals in der letzten Aufgabe so aus: : 1 3 x 2 dx= x 3 _ 3 1 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 oder : 1 3 x 2 dx= 4 x 3 _ 3 5 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Integrale können auch mit Technologieeinsatz berechnet werden (siehe Seite 22). R a x n – 1 x 1 x 2 x 0 x n b 0 F (x) x F Δ F 1 Δ x 1 Δ x 1 Δ x 2 Δ F 2 Δ F n Δ x n Δ x n Δ x 2 F (a) F (b) F (b) – F (a) kompakt Seite 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv