Mathematik verstehen 8, Schulbuch

177  AUFGABEN VOM TYP 2 10 . 43 Dreieck Gegeben ist ein Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S. Aufgabenstellung: a) 1) Berechnen Sie ​ ​ _ À SA​+ ​ ​ _ À SB​+ ​ ​ _ À SC!​ 2) Drücken Sie den Eckpunkt A des Dreiecks durch die beiden anderen Eckpunkte und den Schwerpunkt S aus! b) 1) Die Punkte P, Q, R sind die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CA. Zeigen Sie, dass das Drei- eck PQR und das Dreieck ABC den gleichen Schwerpunkt haben! 2) Die Punkte P, Q, R teilen die Seiten AB, BC, CA im Verhältnis k : 1 (mit k * ℕ *). Zeigen Sie, dass das Dreieck PQR und das Dreieck ABC den gleichen Schwerpunkt haben! 10 . 44 Viereck Gegeben ist ein beliebiges Viereck ABCD. Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie: Wenn das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist, dann halbieren einander die Diagonalen des Vierecks. 2) Zeigen Sie auch die Umkehrung: Wenn die Diagonalen des Vierecks ABCD einander hal- bieren, dann ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm. b) Es seien P, Q, R, S die Mittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, DA. 1) Zeigen Sie: Das Viereck PQRS ist ein Parallelogramm. 2) Zeigen Sie, dass gilt: A + B + C + D = P + Q + R + S. 10 . 45 Vierecke Gegeben sind die Punkte A = (–4 1 11 1 – 5), B = (1 1 13 1 9), C = (–7 1 5 1 19), D = (–12 1 3 1 5), E = (12 1 3 1 11), F = (2 1 –1 1 –17), G = (16 1 1 1 15) und H = (7 1 1 1 – 3). Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm, aber kein Rechteck und auch kein Rhombus ist! 2) Ändern Sie die dritte Koordinate von C so ab, dass der neue Punkt C’ = (–7 1 5 1 c 3 ) ein Rechteck ABC’D’ festlegt und bestimmen Sie auch die Koordinaten von D’! b) 1) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABEF ein Trapez ist! 2) Untersuchen Sie, ob das Trapez ABEF gleichschenkelig ist! c) 1) Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen des Vierecks ABGH! 2) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABGH ein Deltoid ist und bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Deltoids! 10 . 46 Quader Von einem Quader ABCDEFGH kennt man mit A = (2 1 – 4 1 1), B = (–4 1 14 1 – 8), C = (–7 1 16 1 – 2) und ​ _ AE​= 14. Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Kanten AB und BC miteinander einen rechten Winkel bilden! 2) Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte des Quaders an! b) 1) Berechnen Sie das Volumen des Quaders! 2) Alle Kantenlängen des Quaders werden verdoppelt, wobei der Eckpunkt A und die Rich- tungen der Kanten unverändert bleiben! Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte des neuen Quaders an! AG-R 2 .1 AG-R 3 . 3 AG-R 3 . 2 AG-R 3 . 3 AG-R 3 . 2 AG-R 3 . 3 AG-R 3 . 4 AG-R 3 . 2 AG-R 3 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv