Mathematik verstehen 8, Schulbuch

173 AUFGABEN VOM TYP 2 AUFGABEN VOM TYP 2 10 . 30 Rationale und irrationale Zahlen Eine reelle Zahl, die in der Form z _ n mit z * ℤ und n * ℕ * dargestellt werden kann, heißt rational. Die übrigen reellen Zahlen heißen irrational. Aufgabenstellung: a) 1) Begründen Sie, dass zwischen zwei rationalen Zahlen mindestens eine weitere rationale Zahl liegt! 2) Geben Sie mindestens einen Grund an, warum irrationale Zahlen in der Mathematik not- wendig sind! b) 1) Zeigen Sie: Die Summe zweier rationaler Zahlen ist stets rational. 2) Zeigen Sie: Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist stets irrational. c) 1) Jemand behauptet: Wenn a und b irrational sind, dann ist auch a · b irrational. Begründen Sie diese Behauptung oder widerlegen Sie diese durch ein Gegenbeispiel! 2) Jemand behauptet: Wenn a und b irrational sind, dann ist auch a + b irrational. Begründen Sie diese Behauptung oder widerlegen Sie diese durch ein Gegenbeispiel! d) Zeigen Sie anhand von Beispielen: 1) Das Quadrat einer irrationalen Zahl kann rational sein. 2) Die Wurzel aus einer rationalen Zahl kann irrational sein. 10 . 31 Lineare Gleichungssysteme Gegeben ist das Gleichungssystem: { 2x – 3y = 2 4x – y = 9 Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in ℕ 2 an! 2) Geben Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in ℝ 2 an! b) 1) Ändern Sie den Koeffizienten von y in der zweiten Gleichung so ab, dass das neue Gleichungssystem keine Lösung in ℝ 2 hat! 2) Ändern Sie in der zweiten Gleichung den Koeffizienten von x und die rechte Seite der Gleichung so ab, dass das neue Gleichungssystem unendlich viele Lösungen in ℝ 2 hat! 10 . 32 Zwei quadratische Gleichungen Die Gleichung ax 2 – 24x + 9 = 0 (mit a ≠ 0) besitzt genau eine reelle Lösung. Diese Lösung ist auch Lösung der Gleichung 12x 2 + bx + 12 = 0. Aufgabenstellung: a) 1) Ermitteln Sie a und b! 2) Geben Sie alle Lösungen der beiden Gleichungen an! b) 1) Kreuzen Sie die beiden auf die Gleichung ax 2 – 24x + 9 = 0 zutreffenden Aussagen an! Die Gleichung hat für 0 < a < 16 genau zwei Lösungen in ℝ .  Die Gleichung hat für a = 16 genau eine Lösung in ℝ .  Die Gleichung hat für alle a * ℝ * die Lösung x = 0.  Die Gleichung hat für a < 0 keine Lösung in ℝ .  Die Gleichung hat für alle a * ℝ * mindestens eine Lösung in ℝ .  2) Wählen Sie für die beiden gegebenen quadratischen Gleichungen a = 7 und b = –40 und stellen Sie eine Gleichung vom Grad 3 auf, die als Lösungen genau die Lösungen der bei- den quadratischen Gleichungen hat! AG-R 1 .1 AG-R 2 .1 AG-R 1 .1 AG-R 2 . 5 AG-R 1 .1 AG-R 2 . 2 AG-R 2 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv