Mathematik verstehen 8, Schulbuch

17 1 . 3 Approximat ion des Integrals durch Summen Approximation von Flächeninhalten durch Summen Die Methode der näherungsweisen Berechnung von Flächen- inhalten durch Summen geht auf G.W. Leibniz (1646–1716) zurück. Er zerlegte die von einer Funktion f in einem Intervall [a; b] festgelegte Fläche in sehr dünne Streifen der Breite Δ x (siehe nebenstehende Abbildung). Für den Flächeninhalt Δ A eines solchen dünnen Streifens gilt: Δ A ≈ f(x) · Δ x Der Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche ist näherungsweise gleich der Summe dieser Flächeninhalte: A(a, b) ≈ ​ ; f​​ (x)​· Δ x Leibniz stellte sich nun vor, dass die Streifen immer dünner und dünner werden, wodurch sich die Summe auf der rechten Seite im Allgemeinen immer mehr dem Flächeninhalt A(a, b) an­ nähert. Schließlich werden die Streifen „unendlich dünn“. Die „unendlich kleine“ Breite eines solchen Streifens bezeich­ nete Leibniz mit dx (siehe nebenstehende Abbildung). Dessen „unendlich kleiner“ Flächeninhalt beträgt somit f(x) · dx und der Gesamtflächeninhalt ist gleich der „Summe“ dieser „unendlich kleinen“ Streifeninhalte: A(a, b) = ​ ; f​​ (x)​· dx Dies ist allerdings keine gewöhnliche Summe, denn es handelt sich um eine „Summe aus unendlich vielen unendlich kleinen Gliedern“. Um auszudrücken, dass es sich dabei um keine gewöhnliche Summe handelt, haben Nachfolger von Leibniz das Summenzeichen zum Integral- zeichen aufgebogen und statt A = ​ ; ​​f(x)​· dx geschrieben: A = ​ : a ​ b ​ f(x) dx​ Das Integralzeichen soll also in seiner gebogenen Form noch an ein „S“ für Summe und das dx an ein sehr kleines Δ x erinnern. Eine Flächenberechnung nach Leibniz läuft also in drei charakteristischen Schritten ab: Flächeninhaltsberechnung nach Leibniz 1. Schritt: Δ A ≈ f(x) · Δ x 2. Schritt: A(a, b) ≈ ​ ; ​f​ (x) · Δ x​ 3. Schritt: Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Für Δ x ¥ 0 ergibt sich: A(a, b) = ​ : a ​ b ​ f(x) dx​ Dieses Vorgehen ist nicht sehr genau begründet und daher problematisch. Es lässt sich aber exakter begründen und führt im Allgemeinen bei praktischen Anwendungen zu keinen Fehlern. R f f (x) Δ A Δ x x + Δ x x a b 0 d x f(x) f a b 0 f f (x) Δ A Δ x x + Δ x a x b 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv