Mathematik verstehen 8, Schulbuch

165 9 . 4 Wahrscheinl ichkei tsrechnung und Stat ist ik Streubereiche Definition Der bekannte relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit beträgt p. Es wird eine Stichprobe vom vorgegebenen Umfang n erhoben. Das symmetrisch um p liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit h des Merkmals in der Stichprobe mit der Wahr- scheinlichkeit γ enthält, heißt γ -Streubereich für h (bzw. γ -Schätzbereich für h). Meist wählt man γ = 0,95 oder γ = 0,99 . Satz Ist p der relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit, dann gilt für die relative Häufigkeit h des Merkmals in einer Stichprobe von großem Umfang n: γ -Streubereich für h ≈ ​ 4 p – z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​; p + z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ 5 ​ mit Φ (z) = ​ 1 + γ _ 2 ​  Zu γ = 0,95 gehört z ≈ 1,96  Zu γ = 0,99 gehört z ≈ 2,575 . Konfidenzintervalle Definition Zur Schätzung des unbekannten relativen Anteils p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von großem Umfang n erhoben. Ist h die relative Häufigkeit des Merkmals in der Stichprobe, dann bezeichnet man die Menge aller Schätzwerte für p, deren zugehörige γ -Streubereiche den Wert h überdecken, als Konfidenzintervall mit der Sicherheit γ oder kurz als γ -Konfidenzintervall für p. (Ein Konfidenzintervall bezeichnet man auch als Vertrauensintervall , die Sicherheit bezeichnet man auch als Konfidenzniveau .) Frequentistische Deutung eines Konfidenzintervalls: Würde man sehr oft Stichproben vom Umfang n erheben, so würden in ca. 100 · γ % aller Stich - proben die dabei ermittelten γ -Konfidenzintervalle das unbekannte p enthalten. Satz Ist h die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe von großem Umfang n, dann gilt für den relativen Anteil p des Merkmals in der Grundgesamtheit: γ -Konfidenzintervall für p ≈ ​ 4 h – z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​; h + z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ 5 ​ mit Φ (z) = ​ 1 + γ _ 2 ​  Zu γ = 0,95 gehört z ≈ 1,96  Zu γ = 0,99 gehört z ≈ 2,575 . Bei konstantem h hängen die Sicherheit γ , der Stichprobenumfang n und die Länge d des Konfi- denzintervalls so zusammen: falls n konstant γ wird größer d wird größer falls γ konstant n wird größer d wird kleiner falls d konstant γ wird größer n wird größer R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Ve lags öbv