Mathematik verstehen 8, Schulbuch

164 9 Kompendium für die Rei feprüfung Satz ( σ -Regeln) Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: (1) P( μ – σ ª X ª μ + σ ) ≈ 0,683 = 68,3% (2) P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ ) ≈ 0,954 = 95,4% (3) P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ ) ≈ 0,997 = 99,7% Die Standardnormalverteilung Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 heißt Standardnormalverteilung . Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird mit φ , die Verteilungs- funktion mit Φ bezeichnet. Φ (z) gibt den Inhalt der von φ in (– • ; z] festgelegten Fläche an. Die Werte Φ (z) kann man der Tabelle auf Seite 251 entnehmen. Der Übergang von einer Normalverteilung zur Standardnormalverteilung heißt Standardisieren und entspricht einem Skalenübergang (von der x-Skala zur z-Skala, siehe Abbildung). Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen x und z: x = μ + z · σ bzw. z = x – μ _ σ Satz: Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ ) = 2 · Φ (z) – 1 Satz: Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: (1) P(X ª x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 (2) P(X º x) = Φ 2 – x – μ _ σ 3 (3) P(x 1 ª X ª x 2 ) = Φ 2 x 2 – μ _ σ 3 – Φ 2 x 1 – μ _ σ 3 (4) P( μ – c ª X ª μ + c) = 2 · Φ 2 c _ σ 3 – 1 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Satz (Grenzwertsatz von DeMoivre und Laplace in „lockerer“ Formulierung) Ist n genügend groß, dann kann eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = 9 _______ n · p · (1 – p)ersetzt werden. Faustregel: Eine Binomialverteilung darf näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden, wenn n · p · (1 – p) > 9 ist. R μ – σ μ μ + z . σ μ + σ φ Φ (z) x-Skala 0 z-Skala 1 z –1 x x x 2 x 1 μ – c μ + c μ R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv