Mathematik verstehen 8, Schulbuch

163 9 . 4 Wahrscheinl ichkei tsrechnung und Stat ist ik Die Binomialverteilung Satz Ein Zufallsversuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die absolute Häufigkeit H des Eintretens von E: P(H = k) = 2 n k  3 · p k · (1 – p) n – k (für 0 ª k ª n) Durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion k ¦ P(H = k) wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt, die man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. Die Zufallsvariable H heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p . P(H = k), P(H ª k) bzw. P(H º k) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:  mit Hilfe der oben angegebenen Formel für P(H = k),  mit Technologieeinsatz  mit den Tabellen auf den Seiten 248– 250. Satz Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den Erwartungswert und die Varianz von H: μ = E(H) = n · p, σ 2 = V(H) = n · p · (1 – p) Stetige Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Eine stetige Zufallsvariable X kann alle Werte in einem Intervall annehmen (das auch ganz ℝ sein kann). Wahrscheinlichkeiten von X können durch eine Funktion f beschrieben werden, die man Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion von X nennt. Diese hat folgende Eigenschaften: (1) f(x) º 0 für alle x * ℝ (2) P(X ª x) = : – • x f(t)dt für alle x * ℝ (3) : – • • f(x)dx = 1 Die Funktion F: x ¦ P(X ª x) heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Erwartungswert von X: μ = E(X) = : – • • x · f(x)dx Varianz von X: σ 2 = V(X) = : – • • (x – μ )· f(x) dx Standardabweichung von X: σ = 9 ___ V(X) Die Normalverteilung Eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ wird durch folgende Dichtefunktion f beschrieben: Dichtefunktion einer Normalverteilung: f(x) = 1 _ 9 __ 2 πσ · e – 1 _ 2 · 2 x – μ _ σ 3 2 (für x * R ) Die zugrundeliegende Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Der Graph von f wird als Gauß’sche Glockenkurve bezeichnet. Die Zahl μ heißt Erwartungswert von X , die Zahl σ heißt Standardabweichung von X . R R a P (X ª a) = F (a) x f R μ μ – σ μ + σ x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv