Mathematik verstehen 8, Schulbuch

162 9 Kompendium für die Rei feprüfung Mit wachsendem n nähern sich die relativen Häufigkeiten h n (a i ) den Wahrscheinlichkeiten p i und somit nähern sich die relativen Häufigkeitsverteilungen von X der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Dabei zeigt die Erfahrung: Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird eine Versuchsserie zu je n Teilversuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die einzelnen relativen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, a k . Mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen nähern sich die relativen Häufigkeiten h(a 1 ), h(a 2 ), …, h(a k ) den Wahr- scheinlichkeiten p 1 , p 2 , …, p k der möglichen Werte von X. Damit nähern sich der Mittelwert _ xund die empirische Varianz s 2 den folgenden Werten μ und σ 2 : _ x= a 1 · h n (a 1 ) + … + a k · h n (a k ) s 2 = (a 1 – _ x) 2 · h n (a 1 ) +… + (a k – _ x) 2 · h n (a k ) μ = a 1 · p 1 + … + a k · p k σ 2 = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + … + (a k – μ ) 2 · p k Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den Werten a 1 , a 2 , …, a k , die jeweils mit den Wahrscheinlich keiten p 1 , p 2 , … , p k angenommen werden. Dann nennt man μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k den Erwartungswert von X , σ 2 = V(X) = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + (a 2 – μ ) 2 · p 2 + … + (a k – μ ) 2 · p k die Varianz von X , σ = 9 ___ V(X) die Standardabweichung von X . Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist näherungsweise gleich dem Mittelwert der erhaltenen Werte von X bei häufiger Versuchsdurchführung. Die Varianz (Standardabweichung) einer Zufallsvariablen X ist näherungsweise gleich der empirischen Varianz (empirischen Standardabweichung) der erhaltenen Werte von X bei häufiger Versuchsdurchführung. Satz (Verschiebungssatz für die Varianz): σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – μ 2 Datenveränderungen Satz Für zwei Zahlenlisten x 1 ,x 2 , …, x n (Mittelwert _ x, empirische Standardabweichung s x ) und y 1 ,y 2 , …, y n (Mittelwert _ y, empirische Standardabweichung s y ) gilt: Ist y i = x i + c für i = 1, 2, …, n, dann ist _ y= _ x+ c und s y = s x . Ist y i = c · x i für i = 1, 2, …, n, dann ist _ y= c · _ x und s y = c · s x . Entsprechungen: Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriff der beschreibenden Statistik Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Variable (Merkmal) Zufallsvariable Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Mittelwert Erwartungswert empirische Varianz Varianz empirische Standardabweichung Standardabweichung R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv