Mathematik verstehen 8, Schulbuch

161 9 . 4 Wahrscheinl ichkei tsrechnung und Stat ist ik Verknüpfung von Ereignissen Das Gegenereignis ¬ E eines Ereignisses E tritt genau bei jenen Versuchsausgängen ein, bei denen E nicht eintritt. Es gilt: P(¬E) = 1 – P(E). Das Ereignis „E 1 und E 2 “, symbolisch E 1 ? E 2 , tritt genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis E 1 als auch das Ereignis E 2 eintritt. Das Ereignis „E 1 oder E 2 “, symbolisch E 1 = E 2 , tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse E 1 bzw. E 2 eintritt. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitswerte hängen stets vom zugrundeliegenden Informationsstand ab. Manchmal will man ausdrücklich angeben, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E unter der Voraussetzung berechnet wird, dass ein Ereignis E 1 eintritt. Man schreibt in diesem Fall P(E 1 E 1 ) anstelle von P(E) und nennt P(E 1 E 1 ) eine bedingte Wahrscheinlichkeit . Sind E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs, so sagt man: E 2 begünstigt E 1 , wenn P(E 1 1 E 2 ) > P(E 1 ) E 2 benachteiligt E 1 , wenn P(E 1 1 E 2 ) < P(E 1 ) E 1 ist von E 2 unabhängig , wenn P(E 1 1 E 2 ) = P(E 1 ) Regeln für Versuchsausgänge und beliebige Ereignisse Multiplikationsregel für Versuchsausgänge Die Wahrscheinlichkeit eines einem Weg (in einem Baumdiagramm) entsprechenden Versuchs- ausganges ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Weges. Additionsregel für Versuchsausgänge: Für Ausgänge A und B eines Zufallsversuchs gilt: P(A = B) = P(A) + P(B) Multiplikationsregel für Ereignisse: Sind E 1 und E 2 Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 1 E 1 ) Additionsregel für Ereignisse: Sind E 1 und E 2 einander ausschließende Ereignisse eines Zufalls- versuchs (dh. Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können), dann gilt: P(E 1 = E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs sind genau dann unabhängig , wenn gilt: P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) Diskrete Zufallsvariablen und deren Verteilungen Eine diskrete Zufallsvariable X kann endlich viele Werte a 1 , a 2 , …, a k oder abzählbar viele Werte a 1 , a 2 , a 3 … annehmen. Bei n-maliger Versuchsdurchführung bezeichnen wir die absolute bzw. relative Häufigkeit des Werts a i mit H n ( a i ) bzw. h n ( a i ) . Die Funktion H n :a i ¦ H n ( a i ) heißt absolute Häufigkeitsverteilung von X bei n Versuchen . Die Funktion h n : a i ¦ h n (a i ) heißt relative Häufigkeitsverteilung von X bei n Versuchen . Die Funktion P: a i ¦ P(X = a i ) = p i heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X oder Wahrscheinlichkeitsverteilung von X . Die Funktion F: a i ¦ P(X ª a i ) heißt Verteilungsfunktion von X . R R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv