Mathematik verstehen 8, Schulbuch

160 9 Kompendium für die Rei feprüfung Kommen die möglichen Werte a 1 , a 2 , …, a k einer Variablen mit den absoluten Häufigkeiten H 1 , H 2 , …, H k bzw. relativen Häufigkeiten h 1 , h 2 , …, h k vor, gilt für die Varianz: s 2 = H 1 · (a 1 – _ x) 2 + H 2 · (a 2 – _ x) 2 + … + H k · (a k – _ x) 2 ___ n = = h 1 · (a 1 – _ x) 2 + h 2 · (a 2 – _ x) 2 + … + h k · (a k – _ x) 2 Der Verschiebungssatz kann so geschrieben werden: s 2 = H 1 · a 1 2 + H 2 · a 2 2 + … + H k · a k 2 __ n – _ x 2 = h 1 · a 1 2 + h 2 · a 2 2 + … + h k · a k 2 – _ x 2 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, bei dem mehrere Versuchsausgänge möglich sind, jedoch ungewiss ist, welcher Ausgang eintritt. Jeder Zufallsversuch kann als zufällige Auswahl eines Elements aus einem Grundraum Ω (Menge aller Versuchsausgänge) aufgefasst werden, wobei kein Element bevorzugt oder benachteiligt wird. Man nimmt zufällige Auswahl an, solange kein Grund vorliegt, etwas anderes anzunehmen. Ein Zufallsversuch, bei dem jeder Ausgang die gleiche Chance des Eintretens hat, heißt Laplace-Versuch . Bei der Durchführung eines Zufallsversuchs interessiert man sich dafür, ob ein bestimmtes Ereig- nis eintritt oder nicht (zB beim Würfeln: „Es kommt eine gerade Zahl.“). Ein Ereignis entspricht ei- ner bestimmten Menge von Versuchsausgängen (zB beim Würfeln {2, 4, 6}). Die Wahrscheinlichkeit P(E) ist ein Maß für die Erwartung, dass das Ereignis E eintritt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Methoden angegeben, mit denen man diese Erwartung zahlenmäßig ausdrücken kann, wenn auch mit einer gewissen Unsicherheit: Methode 1: Wahrscheinlichkeit mittels relativen Anteils festlegen Bei einem Zufallsversuch habe jeder der endlich vielen Versuchsausgänge die gleiche Chance des Eintretens. Es sei Ω die Menge aller Versuchsausgänge (also der Grundraum) und M(E) die Menge der Versuchsausgänge, bei denen das Ereignis E eintritt. P(E) = relativer Anteil von M(E) in Ω = † M(E) † _ † Ω † = Anzahl der für E günstigen Ausgänge ______ Anzahl aller möglichen Ausgänge Methode 2: Wahrscheinlichkeit mittels relativer Häufigkeit festlegen Ein Zufallsversuch werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt (n groß). Als Wahr- scheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E kann man (mit einer gewissen Unsicherheit) die relative Häufigkeit von E unter diesen n Versuchen verwenden. P(E) ≈ h n (E) Methode 3: Wahrscheinlichkeit mittels subjektiven Vertrauens festlegen P(E) = Grad des subjektiven Vertrauens in das Eintreten von E Bei allen Methoden wird P(E) so festgelegt, dass 0 ª P(E) ª 1 gilt. Grenzfälle sind unmögliche Ereignisse mit P(E) = 0 und sichere Ereignisse mit P(E) = 1 . Unmögliche Ereignisse treten bei keinem Versuchsausgang ein, sichere Ereignisse bei jedem Versuchsausgang. Baumdiagramme Ein aus mehreren Teilversuchen bestehender Zufallsversuch kann durch ein Baumdiagramm übersichtlich dargestellt werden. Zur Vereinfachung kann man Versuchsausgänge zusammenfassen (zB beim Würfeln 6 und ¬6). R R 6 ¬ 6 6 ¬ 6 6 ¬ 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv