Mathematik verstehen 8, Schulbuch

16 1 Stammfunkt ion und Integral 1 . 3 Approximation des Integrals durch Summen Zwischensummen Bei der Bildung einer Unter- bzw. Obersumme haben wir in jedem Teilintervall [x i – 1 ; x i ] (mit i = 1, 2, 3, … , n) eine Minimumstelle m i bzw. eine Maximumstelle M i von f betrachtet. Man kann jedoch stattdessen in jedem Teilintervall eine beliebige Stelle _ x i wählen und folgende Summe bilden: S = f( _ x 1 ) · Δ x 1 + f( _ x 2 ) · Δ x 2 + … f( _ x n ) · Δ x n = ; i = 1 n f( _ x i ) · Δ x i Eine solche Summe wird oft als Zwischensumme bezeichnet. Nebenstehend ist ein Beispiel gezeichnet. Unter- und Obersummen sind Sonderfälle von Zwischensum- men (nämlich solche, bei denen _ x i jeweils eine Minimum- bzw. Maximumstelle von f im Teilintervall [x i – 1 ; x i ] ist). Gehören eine Untersumme U, eine Obersumme O und eine Zwischensumme S zur gleichen Zerlegung Z von [a; b], dann gilt: U ª S ª O (siehe Aufgabe 1.22) Da Unter- und Obersummen Näherungswerte für das Integral sind, sind auch Zwischensummen Näherungswerte für das Integral. Für eine Zwischensumme schreibt man oft kurz: S = ; f (x) · Δ x. Für ein Integral gilt also die leicht einprägsame Beziehung: : a b f(x)dx ≈ ; f (x) · Δ x Merke Ein Integral : a b f(x)dx ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f(x) · Δ x. Kurz: : a b f(x)dx ≈ ; f (x) · Δ x Aufgaben 1 . 22 Sei f eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Beweise, dass für eine Untersumme U, eine Zwischensumme S und eine Obersumme O, die zur gleichen Zerlegung Z von [a; b] gehören, gilt: U ª S ª O. Hinweis : Benutze die Definitionen von U, O und S sowie f(m i ) ª f( _ x i ) ª f(M i ) ! 1 . 23 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 1 + 1 _ 2 x 2 und die Zerlegung Z = (0 1 1 1 2 1 3 1 4) des Intervalls [0; 4]. 1) Berechne die Untersumme U und die Obersumme O von f in [0; 4] bezüglich Z! 2) Berechne die Zwischensumme S, wobei in jedem Teilintervall der Mittelpunkt als Zwischen- stelle genommen wird! Überprüfe die Beziehung U ª S ª O! R Ó Applet 6e2ft4 f O S U x 2 x 1 x 3 x 4 _ _ _ _ x 2 x 1 x 0 x 3 x 4 a b 0 2. A. A. 1. R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv