Mathematik verstehen 8, Schulbuch

159 9 . 4 Wahrscheinl ichkei tsrechnung und Stat ist ik Kennzahlen einer aufsteigend geordneten Liste von Zahlen Quartile: Man bildet für die Zahlen vor dem Median q 2 wiederum den Median q 1 und für die Zahlen nach q 2 den Median q 3 . Die erhaltenen Zahlen q 1 , q 2 , q 3 heißen erstes, zweites bzw. drittes Quartil der Liste. Quartilabstand = q 3 – q 1 Minimum (min) = kleinstes Element der Liste, Maximum (max) = größtes Element der Liste Spannweite der Liste = max – min Kastenschaubild (Boxplot): Beispiel : 2 2 3 4 4 6 7 7 9 9 min q 1 = 3 q 2 = 5 q 3 = 7 max Hinsichtlich der Positionen der Quartile in einer geordneten Liste lässt sich sagen: Die Positionen der drei Quartile zerlegen die Liste in vier annähernd gleich lange Teillisten. Ca. 25% (50%, 75%) der Daten liegen vor der Position von q 1 (q 2 , q 3 ) . Ca. 75% (50%, 25%) der Daten liegen nach der Position von q 1 (q 2 , q 3 ) . Zwischen den Positionen von q 1 und q 3 liegen ca. 50% aller Daten. Hinsichtlich der Zahlenwerte der Quartile in einer geordneten Liste lässt sich sagen: Höchstens 25% (50%, 75%) der Daten sind < q 1 (q 2 , q 3 ) . Mindestens 25% (50%, 75%) der Daten sind ª q 1 (q 2 , q 3 ) . Höchstens 75% (50%, 25%) der Daten sind > q 1 (q 2 , q 3 ) . Mindestens 75% (50%, 25%) der Daten sind º q 1 (q 2 , q 3 ) . Perzentile einer aufsteigend geordneten Liste von Zahlen Definition: Das p%-Perzentil P p (mit p = 1, 2, 3, …, 99) einer aufsteigend geordneten Liste x 1 , x 2 , …, x n ist so definiert: Wenn p% von n gleich dem Index i der Liste ist, dann setzt man P p = x i . Wenn p% von n zwischen den Indizes i und i + 1 der Liste liegen, setzt man P p = x i + x i + 1 __ 2 . Höchstens p% der Zahlen der Liste sind < P p und höchstens (100 – p)% sind > P p . Das Quartil q 1 (q 2 , q 3 ) ist das 25%-Perzentil (50%-Perzentil, 75%-Perzentil). Streuungsmaße Definition Es sei x 1 , x 2 , …, x n eine Liste von reellen Zahlen mit dem Mittelwert _ x. empirische Varianz der Liste: s 2 = (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 __ n empirische Standardabweichung der Liste: s = 9 _______________ (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 __ n Satz (Verschiebungssatz für die empirische Varianz) s 2 = x 1 2 + x 2 2 +… + x n 2 _ n – _ x 2 R min q 1 q 2 q 3 max R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv