Mathematik verstehen 8, Schulbuch

157 9 . 3 Analysis Differenzengleichungen Viele Folgen (zB im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen) lassen sich durch eine Term darstellung oder eine rekursive Darstellung beschreiben. Ist beispielsweise P n die Größe einer Population nach n Jahren (n * ℕ *), dann gilt für lineares Wachsen bzw. Abnehmen: Termdarstellung: P n = k · n + d für n * ℕ Rekursive Darstellung: P 0 = d und P n + 1 = P n + k für n = 0, 1, 2, … (Für k > 0 liegt lineares Wachsen, für k < 0 liegt lineares Abnehmen vor.) exponentielles Wachsen: Termdarstellung: P n = c · a n für n * ℕ Rekursive Darstellung: P 0 = c und P n + 1 = P n · a für n = 0, 1, 2, … (Für a > 1 liegt exponentielles Wachsen, für 0 < a < 1 liegt exponentielles Abnehmen vor.) Eine rekursive Darstellung einer Folge (x 0 , x 1 , x 2 , …) besteht aus einer Anfangsbedingung x 0 = m und einer Rekursionsgleichung x n + 1 = f(x n ) . Die Anfangsbedingung legt das erste Glied der Folge fest, mit Hilfe der Rekursionsgleichung kann zu jedem Glied x n das nächste Glied x n + 1 berechnet werden. Es kann sein, dass bei einer rekursiven Darstellung ein Folgenglied aus mehreren vorangehenden Gliedern berechnet wird, wobei mehrere Anfangsbedingungen nötig sind. Ein Beispiel dafür ist die „Fibonacci-Folge“: f 0 = 0, f 1 = 1 und f n + 1 = f n – 1 + f n für n = 1, 2, 3, 4, … . Die Glieder dieser Folge heißen „Fibonacci-Zahlen“. Differentialgleichungen Eine Gleichung bezeichnet man als Differentialgleichung für eine Funktion f, wenn in ihr (erste oder höhere) Ableitungen von f auftreten. Jede Funktion f, für welche die vorgegebene Differen tialgleichung gilt, nennt man eine Lösungsfunktion oder kurz Lösung der Differentialgleichung . Durch Angabe einer Anfangsbedingung (zum Beispiel f(0) = m) lässt sich aus der Menge aller Lösungen eine bestimmte Funktion auswählen. Wichtige Differentialgleichungen sind f’(x) = k und f ’(x) = k · f(x). Für diese gilt: Satz Für eine in einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion f gilt: (1) f ’(x) = k É f(x) = k · x + d (k, d * ℝ) (2) f ’(x) = k · f(x) É f(x) = c · e k · x ( k, c * ℝ) Für eine zeitabhängige Größe N(t), deren Wachstum (bzw. Abnahme) durch eine obere (bzw. un- tere) Schranke K beschränkt ist, gilt die Differentialgleichung: N’(t) = a · N(t) · [K – N(t)] Die Lösungsfunktion mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 lautet: N(t) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · e –aKt R L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv