Mathematik verstehen 8, Schulbuch

155 9 . 3 Analysis Es gilt stets: U f (Z) ª S f (Z) ª O f (Z) Man kann die einzelnen Summen auch mit Hilfe des Summenzeichens anschreiben: U f (Z) = ; i = 1 n f (m i ) · Δ x i O f (Z) = ; i = 1 n f (M i ) · Δx i S f (Z) = ; i = 1 n f( _ x i ) · Δx i Integral Man kann beweisen: Ist f stetig in [a; b], dann gibt es genau eine reelle Zahl I, sodass U ª I ª O für jede Untersumme U und jede Obersumme O von f in [a; b] gilt (auch dann, wenn diese zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören). Wir sagen kurz: Diese reelle Zahl I liegt zwischen allen Untersummen und allen Obersummen von f in [a; b]. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion. Die eindeutig bestimmte reelle Zahl I, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt (genauer: U ª I ª O), nennt man das Integral von f in [a; b] und schreibt: I = : a b f oder I = : a b f(x) dx Setzt man : a a f= 0 und : a b f= – : b a ffür b < a, dann ist das Integral auch für b ª a definiert. Sind die reellen Funktion f, g in den jeweiligen Intervallen stetig und ist c * R , dann gilt: (1) : a b c · f = c · : a b f (2) : a b (f + g) = : a b f + : a b g (3) : a b f+ : b c f= : a c f Approximation eines Integrals durch Summen Bei einer genügend feinen Zerlegung Z von [a; b] ist : a b f(x) dx ≈ S f (Z). Man kann daher sagen: Ein Integral ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f(x) · Δ x: : a b f(x) dx≈ ; f (x) · Δ x Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) (1) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: : a b f(x) dx = F(x) 1 a b = F(b) – F(a) (2) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] bzw. [a; • ) stetig, dann ist die Integralfunktion I: A ¥ ℝ ‡ x ¦ : a x f eine Stammfunktion von f . R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv