Mathematik verstehen 8, Schulbuch

153 9 . 3 Analysis Krümmung Definition Es sei f: A ¥ R eine differenzierbare reelle Funktion, und I a A ein Intervall. Die Funktion f heißt ƒƒ linksgekrümmt in I , wenn f’ streng monoton steigend in I ist, ƒƒ rechtsgekrümmt in I , wenn f’ streng monoton fallend in I ist, ƒƒ einheitlich gekrümmt in I , wenn f in I entweder linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. Satz (Krümmungssatz) Die reelle Funktion f sei zweimal differenzierbar im Intervall I. (1) Ist f’’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f linksgekrümmt in I. (2) Ist f’’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f rechtsgekrümmt in I. Durch die Nullstellen von f’’ wird der Definitionsbereich von f in die Krümmungsintervalle ( Krümmungsbereiche ) zerlegt (sofern f’’ stetig ist). In diesen Intervallen ist f jeweils einheitlich gekrümmt. Um die Art der Krümmung in einem Krümmungsintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln. Wendestellen Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungs­ verhalten von f ändert. Der Punkt (p 1 f(p)) heißt Wendepunkt des Graphen von f, die Tangente an den Graphen in diesem Punkt heißt Wendetangente . Satz (Notwendige Bedingung für Wendestellen) Sei f: A ¥ R zweimal differenzierbar. Ist p eine Wendestelle von f, dann ist f’’(p) = 0 . Satz (Hinreichende Bedingung für Wendestellen) Sei f: A ¥ R eine dreimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger dritter Ableitung, A ein Intervall und p eine innere Stelle von A. Dann gilt: Ist f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0 , dann ist p eine Wendestelle von f. Für eine Polynomfunktion f vom Grad º 2 folgt aus der Definition: p ist eine Wendestelle von f É p ist eine lokale Extremstelle von f’. Extremwertaufgaben Bei einer Extremwertaufgabe geht es meist um die Ermittlung größter bzw. kleinster Werte einer Funktion in zwei Variablen. Durch eine Nebenbedingung kann diese Funktion auf eine Funktion in einer Variablen reduziert werden, die in einem abgeschlossenen (seltener in einem offenen) Intervall definiert ist. Als Maximum- oder Minimumstellen dieser Funktion in diesem Intervall kommen nur die lokalen Extremstellen im Inneren sowie die Randstellen des Intervalls in Frage. R linksgekrümmt rechtsgekrümmt f l f l R f Wendetangente Wendepunkt Wendestelle p f (p) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv