Mathematik verstehen 8, Schulbuch

152 9 Kompendium für die Rei feprüfung Differenzierbarkeit Die Ableitung f’(x) = ​lim z ¥ x ​​ f(z) – f(x) _ z – x ​muss nicht immer existieren. Beispiel : Man kann zeigen, dass die Ableitung der nebenstehend dargestellten Funktion f mit f(x) = † x † an der Stelle 0 nicht existiert (siehe Mathematik verstehen 7, Seite 161 –167). Der Graph von f besitzt daher an der Stelle 0 auch keine Tangente. Definition (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A differenzierbar , wenn f’(p) = ​lim z ¥ p ​ f(z) – f(p) _ z – p ​existiert. (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) differenzierbar , wenn sie an jeder Stelle p * A differenzierbar ist. Folgende Funktionen sind in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich differenzierbar: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen. Satz Ist eine reelle Funktion f: A ¥ R an einer Stelle p * A differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Gegenbeispiel: Die Funktion f mit f(x) = † x † ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Monotonie und Ableitung Satz (Monotoniesatz) Die reelle Funktion f sei differenzierbar im Intervall I. (1) Ist f’(x) > 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton steigend in I . (2) Ist f’(x) < 0 für alle inneren Stellen x * I, dann ist f streng monoton fallend in I . Durch die Nullstellen von f’ wird der Definitionsbereich von f in die Monotonieintervalle (Monotoniebereiche) zerlegt (sofern f’ stetig ist). In diesen Intervallen ist f jeweils streng monoton. Um die Art der Monotonie in einem Monotonieintervall I festzustellen, genügt es, das Vorzeichen von f’ an einer beliebigen inneren Stelle p * I zu ermitteln. Lokale Extremstellen und Ableitung Satz (Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen) Sei f: A ¥ R differenzierbar. Ist p eine lokale Extremstelle von f, dann ist f’(p) = 0. Satz (Hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen) Sei f: A ¥ R eine zweimal differenzierbare reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung, A ein Intervall und p eine innere Stelle von A. Dann gilt: (1) Ist f’(p) = 0 und f’’(p) < 0 , dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f’(p) = 0 und f’’(p) > 0 , dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. R 0 1 x –1 1 f f(x) R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv