Mathematik verstehen 8, Schulbuch

151 9 . 3 Analysis Andere Schreibweisen für den Differenzen- und Differentialquotienten Setzt man z – x = h, dh. z = x + h, so ergibt sich: f(z) – f(x) _ z – x = f(x + h) – f(x) __ h bzw. lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = lim h ¥ 0 f(x + h) – f(x) __ h Vorwiegend in den Anwendungen der Differentialrechnung ist auch eine Schreibweise gebräuchlich, die auf Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) zurückgeht: f(z) – f(x) _ z – x = Δ y _ Δ x bzw. dy _ dx = lim Δ x ¥ 0 Δ y _ Δ x Ableitungsregeln Die Funktion f’: x ¦ f’(x) nennt man Ableitungsfunktion von f oder kurz Ableitung von f . Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man Ableiten oder Differenzieren . Den Funktionswert f’(x) bezeichnet man als Ableitung von f an der Stelle x . Ableitungen können als Grenzwerte von Differenzenquotienten berechnet werden, zB: f(x) = x 2 w f’(x) = lim z ¥ x f(z) – f(x) _ z – x = lim z ¥ x z 2 – x 2 _ z – x = lim z ¥ x (z + x)(z – x) _ z – x = lim z ¥ x (z + x) = x + x = 2x Um aber nicht jedes Mal einen Grenzwert ermitteln zu müssen, leitet man Regeln her, die das Auffinden der Ableitungsfunktion f’ einer Funktion f erleichtern. Ableitungen spezieller Funktionen (1) Ableitung einer konstanten Funktion: f(x) = c w f’(x) = 0 (2) Ableitung einer Potenzfunktion: f(x) = x n w f’(x) = n · x n – 1 (x * R , n * N *) f(x) = x r w f’(x) = r · x r – 1 (x * R + , r * R ) (3) Ableitung einer Quadratwurzelfunktion: f(x) = 9 _ x w f’(x) = 1 _ 2 9 _ x (4) Ableitung von Winkelfunktionen: f(x) = sin(x) w f’(x) = cos(x) f(x) = cos(x) w f’(x) = – sin(x) f(x) = tan(x) w f’(x) = 1 _ cos 2 (x) = 1 + tan 2 (x) (5) Ableitung von Exponentialfunktionen: f(x) = e x w f’(x) = e x f(x) = a x w f’(x) = a x · ln(a) (a * R + , a ≠ 1) (6) Ableitung von Logarithmusfunktionen: f(x) = ln(x) w f’(x) = 1 _ x f(x) = log a (x) w f’(x) = 1 __ x · ln(a) (a * R + , a ≠ 1) Ableitungen von Verknüpfungen von Funktionen (1) Ableitung einer Summe (Differenz) von f = g ± h w f’ = g’ ± h’ Funktionen: f = f 1 ± f 2 ± … ± f n w f’ = f 1 ’ ± f 2 ’ ± … ± f n ’ (2) Ableitung eines Produktes von Funktionen: f = u · v w f’ = u’v + uv’ f = c · g w f’ = c · g’ (c konstant) (3) Ableitung eines Quotienten von Funktionen: f = u _ v w f’ = u’v – uv’ __ v 2 (4) Ableitung einer Verkettung von Funktionen: f(x) = (u ° v)(x) = u(v(x)) w w f’(x) = u’(v(x)) · v’(x) (5) A bleitung der Umkehrfunktion g von f: g’(x) = 1 _ f’(g(x)) ( falls f streng monoton in einem Intervall) Wenn fortlaufendes Differenzieren möglich ist, kann man ausgehend von f die höheren Ableitungen von f bilden: f’ (erste Ableitung von f), f’’ (zweite Ableitung von f), f’’’ (dritte Ableitung von f) usw. R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv