Mathematik verstehen 8, Schulbuch

150 9 Kompendium für die Rei feprüfung Differentialquotient Definition Es sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert f’(x) = ​lim z ¥ x ​​ f(z) – f(x) __ z – x ​ heißt Differentialquotient von f an der Stelle x oder Änderungsrate von f an der Stelle x . Wichtiger Spezialfall des Differentialquotienten: Ist s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion, dann gilt: (Momentan-)Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = v(t) = ​lim z ¥ t ​ _ v​(t, z) = ​lim z ¥ t ​​ s(z) – s(t) _ z – t ​ Differentialquotient als Steigung In der nebenstehenden Abbildung hat die Sekante durch die Punkte X und Z die Steigung ​ f(z) – f(x) _ z – x ​. Nähert sich Z längs des Graphen von f unbegrenzt dem Punkt X, dann nähert sich die Sekante unbegrenzt einer Grenzgeraden mit der Steigung ​lim z ¥ x ​ f(z) – f(x) _ z – x ​= f’(x). Diese Grenzgerade bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X. Die Steigung f’(x) der Tangente an der Stelle x heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. Das Vorzeichen von f’(x) kann als Steigen bzw. Fallen der entsprechenden Tangente gedeutet werden: f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 In diesen Abbildungen ist auch das Neigungswinkelmaß α der Tangente eingezeichnet. Allgemein versteht man unter dem Neigungswinkel ( Steigungswinkel ) einer Geraden den Winkel, den die Gerade mit der positiven 1. Achse einschließt. Es gilt stets 0° ª α < 180°. Satz Ist k die Steigung und α das Maß des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen einer Funktion f an der Stelle x, so gilt: f’(x) = k = tan α R R f t Z X z x f (x) f (z) x f α f (x) x α f (x) f x f (x) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv