Mathematik verstehen 8, Schulbuch

15 1 . 2 Unter- und obersummen, integral integral als verallgemeinerung eines Produkts Ein Integral wird manchmal als eine Verallgemeinerung eines Produkts bezeichnet. Um dies zu verstehen, betrachten wir die Inhalte der beiden folgenden grün unterlegten Flächen: A = a · b A = : 0 a b(x) dx In beiden Fällen ist die Länge a konstant. In der linken Abbildung ist auch die Breite b konstant. In der rechten Abbildung hängt die Breite b(x) jedoch von x ab und das Produkt a · b wird durch : 0 a b(x) dxersetzt. In diesem Sinn kann das Integral als eine Verallgemeinerung eines gewöhnli - chen Produkts aufgefasst werden. Aufgaben 1 .18 Z ist eine Zerlegung des Intervalls [a; b]. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Für alle stetigen Funktionen f: [a; b] ¥ ℝ gilt: U(Z) < O(Z).  Für alle stetigen Funktionen f: [a; b] ¥ ℝ gilt: U(Z) < : a b f.  Es gibt eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ ℝ , für die U(Z) > : a b fist.  Für alle stetigen Funktionen f: [a; b] ¥ ℝ gilt: U(Z) ª : a b fª O(Z).  Es gibt eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ ℝ , für die U(Z) = : a b f= O(Z) ist.  1 .19 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 + x 2 . 1) Schätze den Inhalt der von f im Intervall [0; 3] festgelegten Fläche durch Ober und Unter - summen ab, wobei das Intervall in 1, 3 bzw. 6 gleich lange Teilintervalle zerlegt wird! 2) Ermittle die Differenz von Ober und Untersumme bei Zerlegung von [0; 3] in n gleich lange Teilintervalle! Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? 1 . 20 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x _ x + 1 . 1) Stelle den Inhalt der von f im Intervall [0; 4] festgelegten Fläche durch ein Integral dar! 2) Berechne dieses Integral näherungsweise! Teile dazu das Intervall [0; 4] in vier gleich lange Teilintervalle und nimm den Mittelwert von Unter- und Obersumme als Näherungswert! 1 . 21 Sei f eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Beweise: Für jede Zerlegung Z von [a; b] gilt: U f (Z) ª O f (Z). HinWeis : Benutze die Definitionen von U f (Z) und O f (Z) und die Ungleichungen f(m i ) ª f(M i ) ! R a 0 b a 0 b (x) x R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv