Mathematik verstehen 8, Schulbuch

149 9 . 3 Analysis 9 . 3 Analysis Differenzenquotient Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und [a; b] a A. Dann heißt die reelle Zahl f(b) – f(a) _ b – a der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; b] . Wichtiger Spezialfall des Differenzenquotienten: Ist s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion, dann gilt: mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] = _ v(t 1 , t 2 ) = s(t 2 ) – s(t 1 ) _ t 2 – t 1 Deutungen des Differenzenquotienten Der Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) kann gedeutet werden als: Verhältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in [a; b] mittlere Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Vorzeichen des Differenzenquotienten: f(b) – f(a) __ b – a > 0 É f(a) < f(b) (f steigt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4a) f(b) – f(a) __ b – a < 0 É f(a) > f(b) (f fällt insgesamt bzw. im Mittel in [a; b], siehe Abb. 9.4b) f(b) – f(a) __ b – a = 0 É f(a) = f(b) (siehe Abb. 9.4 c) Abb. 9.4a Abb. 9.4b Abb. 9.4 c Differenzenquotient als Steigung Lineare Funktion Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Funktion f in [a; b] = = Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] Beliebige reelle Funktion Differenzenquotient von f in [a; b] = = Steigung k der Sekantenfunktion s in [a; b] = = mittlere (!) Änderung der Funktionswerte pro Argumenteinheit in [a; b] = = mittlere (!) Steigung von f in [a; b] R R a b f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) a b b – a † f (b) – f (a) † f (b) f (a) f a b b – a f (b) f (a) f R a b f b – a 1 f (b) f (a) f (b) – f (a) k 1 k b – a f (a) = s (a) f (b) = s (b) f (b) – f (a) = = s (b) – s (a) a b s f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv