Mathematik verstehen 8, Schulbuch

148 9 Kompendium für die Rei feprüfung Winkelfunktionen Definition Das Bogenmaß eines Winkels ist der Quotient a = b _ r , wobei b die Länge des zum Winkel gehörigen Bogens mit dem Radius r ist. (Man kann zeigen, dass das Verhältnis b _ r vom gewählten Radius r unabhängig ist.) Zusammenhang zwischen Gradmaß g und Bogenmaß a: a _ π = g _ 180 Polarwinkelmaße liegen stets in [0; 2 π ), Drehwinkelmaße können jedoch auch außerhalb dieses Intervalls liegen. Deshalb erweitert man die Definition von Sinus, Cosinus und Tangens: Definition Ist a * ℝ ein Drehwinkelmaß und _ a * [0; 2 π ) das dazugehörige Polarwinkelmaß, so setzt man: (1) sin(a) = sin( _ a) (2) cos(a) = cos( _ a) (3) tan(a) = sin(a) _ cos(a) 2 für a ≠ ± π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , … 3 Winkelfunktionen (Kreisfunktionen, trigonometrische Funktionen): Sinusfunktion sin: R ¥ R ‡ x ¦ sin(x) Cosinusfunktion cos: R ¥ R ‡ x ¦ cos(x) Tangensfunktion tan: A ¥ R ‡ x ¦ tan(x), wobei A = R \ { ± π _ 2 , ± 3 π _ 2 , ± 5 π _ 2 , … } Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt periodisch , wenn es eine positive Zahl p gibt, sodass für alle x * A auch x + p * A und f(x + p) = f(x) ist. Die Zahl p heißt eine Periode der Funktion f. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode 2 π . Die Tangensfunktion ist eine periodische Funktion mit der kleinsten Periode π .  Für alle x * ℝ : sin(x) = cos 2 x – π _ 2 3  Für alle x * ℝ : cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 Funktionen der Form x ¦ a · sin(b · x) Wir betrachten die Funktionen f und g mit f(x) = sin(x) und g(x) = a · sin(b · x) mit a, b * ℝ + . Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch zwei Veränderungen hervor: Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor b normal zur 2. Achse (Streckung für 0 < b < 1, Stauchung für b > 1) Streckung bzw. Stauchung mit dem Faktor a normal zur 1. Achse (Streckung für a > 1, Stauchung für 0 < a < 1) Es gilt hier: g(x) = 3 · sin(2x) R b r 1 0 – 0 1 sin(x) sin x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 1 0 – 0 1 cos(x) cos x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 1 0 – 0 1 tan(x) tan x π 2 π π –4 π –4 π –2 π –2 3 π –2 9 π –4 R 0 1 –1 – –2 –3 2 π –2 π –2 3 π –2 π 2 π f(x), g(x) x g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv