Mathematik verstehen 8, Schulbuch

147 9 . 2 Funkt ionale Abhängigkei ten Exponentialfunktionen Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ R mit f(x) = c · a x (c * R *, a * R + ) heißt Exponentialfunktion . Die Basis a bestimmt die Stärke des Steigens bzw. Fallens . a > 1 … f streng monoton steigend 0 < a < 1 … f streng monoton fallend a = 1 … f konstant c = f(0) = Funktionswert von f an der Stelle 0 Eine nicht konstante Exponentialfunktion f kann auch in der Form f(x) = e ± λ x mit λ > 0 geschrieben werden (+ bedeutet Wachsen, – bedeutet Abnehmen). Die Konstante λ heißt Wachstums- bzw. Abnahmekonstante (beim radioaktiven Zerfall Zerfallskonstante ). Satz (Eigenschaften einer Exponentialfunktion) (1) f(x + 1) = f(x) · a Wird x um 1 erhöht, dann ändert sich f(x) mit dem Faktor a. (2) Wird x um h erhöht, dann ändert sich f(x) mit dem Faktor a h . (3) Wird x um 1 erhöht, dann wächst bzw. fällt f(x) um einen konstanten Prozentsatz p% vom Ausgangswert. (4) Wird x um h erhöht, dann wächst bzw. fällt f(x) um einen konstanten, von h abhängigen Prozentsatz p h % vom Ausgangswert. Exponentielles Wachsen (bzw. Abnehmen) bedeutet: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets Zunahme (bzw. Abnahme) mit dem gleichen Fak- tor bzw. um den gleichen Prozentsatz vom Ausgangswert. R ( ) x ( ) x ( ) x 1 x 4 x 3 x 2 x – 1 1 0 5 x f (x) –1 2 –1 3 –1 4 f x x + 1 f(x) f(x)·a 0 2. A. 1. A. f x f(x) 0 x + 1 f(x)·a 2. A. 1. A. f x x + h f(x) f(x)·a h 0 2. A. 1. A. f x f(x) 0 x + h f(x)·a h 2. A. 1. A. f 1 p % p % p % p % 0 2. A. 1. A. 1 1 1 f 1 1 1 1 0 p % p % p % p % 2. A. 1. A. f p h % p h % 0 2. A. 1. A. h h f h h 0 p h % p h % 2. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv