Mathematik verstehen 8, Schulbuch

145 9 . 2 Funkt ionale Abhängigkei ten Lineare Funktionen Definition Eine reelle Funktion f : A ¥ ℝ mit f(x) = k · x + d (mit k, d * ℝ ) heißt lineare Funktion . Spezialfälle:  k = 0 … konstante Funktion  d = 0 … direkte Proportionalitätsfunktion Satz: Der Graph einer linearen Funktion f mit f(x) = k · x + d (mit k, d * R ) ist eine Gerade . k = Steigung von f k > 0 … f streng monoton steigend k < 0 … f streng monoton fallend d = Funktionswert von f an der Stelle 0 Satz (Eigenschaften einer linearen Funktion) (1) f(x + 1) = f(x) + k Wird x um 1 erhöht, dann ändert sich f(x) um k. (2) f(x + h) = f(x) + k · h Wird x um h erhöht, dann ändert sich f(x) um k · h. (3)  f(x 2 ) – f(x 1 ) __ x 2 – x 1 = k (für x 1 ≠ x 2 ) Der Differenzenquotient von f in einem beliebigen Inter- vall [x 1 ; x 2 ] ist gleich der Steigung k. Lineares Wachsen (bzw. Abnehmen) bedeutet: Gleiche Zunahme der Argumente bewirkt stets gleiche Zunahme (bzw. Abnahme) der Funktionswerte. R 0 d f 1. A. 2. A. 0 f 1. A. 2. A. k = 2 k = 0 k = 1 f(x) –2 –1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 x k = ‒2 k = ‒1 0 d f 1. A. 2. A. x x + 1 f k f(x + 1) f(x) 1 f 1 f(x) f(x + 1) † k † 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. x x + 1 x x + h f k · h f(x + h) f(x) h f h f(x) f(x + h) † k · h † 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. x x + h x 1 x 2 f f(x 2 ) – f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 x 2 – x 1 f x 2 – x 1 f(x 1 ) f(x 2 ) † f(x 2 ) – f(x 1 ) † x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) k · h h k · h h h k · h † k · h † f f † k · h † † k · h † h h h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv