Mathematik verstehen 8, Schulbuch

144 9 Kompendium für die Rei feprüfung Satz Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und seien a, p, b * A mit a < p < b. (1) Ist f in [a; p] monoton steigend und in [p; b] monoton fallend, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. (2) Ist f in [a; p] monoton fallend und in [p; b] monoton steigend, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. (3) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton steigend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. (4) Ist f in [a; p] und [p; b] monoton fallend, dann ist p keine lokale Extremstelle von f. Grenzwerte von Funktionen Gegeben sei eine reelle Funktion f: A ¥ R † x ¦ f(x) und eine Stelle p * A. Wenn sich bei unbegrenzter Annäherung von x an die Stelle p die Funktionswerte f(x) unbegrenzt der Zahl q nähern, so schreibt man: lim x ¥ p f(x) = q Die Zahl q heißt Grenzwert von f für x gegen p . Stetigkeit von Funktionen Definition (1) Eine reelle Funktion f: A ¥ R heißt an der Stelle p * A stetig , wenn lim z ¥ p f(z) = f(p) . (2) Die Funktion f heißt (schlechthin) stetig , wenn sie an jeder Stelle p * A stetig ist. Folgende Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich stetig: Potenzfunktionen, Polynom- funktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ist eine Funktion f an einer Stelle p nicht stetig (unstetig), so kann dies zweierlei bedeuten: lim z ¥ p f(z) existiert, ist aber von f(p) verschieden (Abb. 9.1). lim z ¥ p f(z) existiert nicht (Abb. 9.2). Abb. 9.1 Abb. 9.2 Abb. 9.3 Unstetigkeitsstellen sind oft Sprungstellen (wie in Abb. 9.2). Es gibt aber auch andere Unstetigkeitsstellen, zB Oszillationsstellen (wie in Abb. 9.3) Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs Eine Funktion f: A ¥ R mit A a R n heißt reelle Funktion in n Variablen . Solche Funktionen kann man in Formeln sehen. ZB kann man in der Formel A = a · b für den Flächeninhalt eines Rechtecks die Funktion A: ( R + ) 2 ¥ R ‡ (a, b) ¦ a · b sehen. Noch allgemeiner kann man Funktionen f: A ¥ B betrachten, bei denen A und B beliebige Mengen sind. R R 1 f (x) 1 2 –1 –1 0 x f 1 f (x) 1 2 –1 –1 0 x f f 1 x f(x) 1 –1 –1 0 f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv