Mathematik verstehen 8, Schulbuch

143 9 . 2 Funkt ionale Abhängigkei ten Änderungsmaße von reellen Funktionen Definition Sei f eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion. Die reelle Zahl f(b) – f(a) heißt absolute Änderung (oder kurz Änderung) von f in [a; b] , f(b) – f(a) __ f(a) heißt relative Änderung von f in [a; b] , f(b) – f(a) __ b – a heißt mittlere Änderungsrate (oder Differenzenquotient ) von f in [a; b] , f(b) _ f(a) heißt Änderungsfaktor von f in [a; b] . Monotonie von reellen Funktionen Definition Es sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Die Funktion f heißt monoton steigend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) ª f(x 2 ) monoton fallend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) º f(x 2 ) streng monoton steigend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) streng monoton fallend in M , wenn für alle x 1 , x 2 * M gilt: x 1 < x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) Die Funktion f heißt (streng) monoton in M , wenn sie (streng) monoton steigend in M oder (streng) monoton fallend in M ist. Extremstellen von reellen Funktionen Man unterscheidet globale und lokale Extremstellen einer reellen Funktion. Globale Extremstellen beziehen sich auf die gesamte Definitionsmenge der Funktion. Lokale Extremstellen beziehen sich nur auf bestimmte Umgebungen. Unter einer Umgebung U(p) der Stelle p verstehen wir ein beliebiges Intervall, das p als innere Stelle enthält. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M , wenn f(x) ª f(p) für alle x * M, Minimumstelle von f in M , wenn f(x) º f(p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt Extremstelle von f in M , wenn sie eine Maximumstelle oder Minimum- stelle von f in M ist. Definition Sei f: A ¥ R eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt lokale Maximumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist. Eine Stelle p heißt lokale Extremstelle von f , wenn sie eine lokale Maximumstelle oder lokale Minimumstelle von f ist. R a b x f b – a f (b) – f (a) f (a) f (b) f (x) R R Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum de Verlags öbv