Mathematik verstehen 8, Schulbuch

142 9 Kompendium für die Rei feprüfung 9 . 2 Funktionale Abhängigkeiten Grundlegendes über Funktionen Definition Wird jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion oder eine Abbildung von A nach B. Wir schreiben: f: A ¥ B ‡ x ¦ f(x) . Eine Funktion f: A ¥ R mit A a R heißt reelle Funktion . Bezeichnungen ƒƒ A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitionsmenge von f B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zielmenge von f ƒƒ x * A. . . . . . . . . . Argument , Stelle oder Urelement von f ƒƒ f(x) * B. . . . . . . . . Funktionswert an der Stelle x oder Bildelement von x ƒƒ f(A) = {f(x) ‡ x * A} . . . . Wertemenge von f ƒƒ G = {(x 1 f(x)) ‡ x * A}. . . Graph der Funktion f Das Schaubild dieser Menge wird ebenfalls als Graph bezeichnet. Beachte : Die Wertemenge ist stets eine Teilmenge der Zielmenge (häufig sogar eine echte Teilmenge). Ist f durch einen Term gegeben, so spricht man von einer Termdarstellung von f , zum Beispiel: f(x) = 2x – x 2 . Diese Funktion kann auch durch die Gleichung y = 2x – x 2 festgelegt werden. Allgemein bezeichnet man jede Gleichung in zwei Variablen, welche die Funktion f festlegt, als Funktionsgleichung von f oder kurz Gleichung von f . Veränderung von Graphen reeller Funktionen Für alle reellen Funktionen f und g und alle a, b, c * ​ ℝ ​ + ​gilt: Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch g(x) = – f(x) Spiegelung an der 1. Achse g(x) = f(x) + c Verschiebung um c parallel zur 2. Achse nach oben g(x) = f(x) – c Verschiebung um c parallel zur 2. Achse nach unten g(x) = a · f(x) Streckung mit dem Faktor a normal zur 1. Achse g(x) = –a · f(x) Streckung mit dem Faktor a normal zur 1. Achse und anschließende Spiegelung an der 1. Achse g(x) = f(x + b) Verschiebung um b parallel zur 1. Achse nach links g(x) = f(x – b) Verschiebung um b parallel zur 1. Achse nach rechts Eine Streckung mit einem Faktor a mit 0 < a < 1 bezeichnet man auch als Stauchung . Rechnen mit reellen Funktionen Zwei Funktionen f: A ¥ R und g: A ¥ R kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. ƒƒ Summe von f und g: (f + g): A ¥ R mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) ƒƒ Differenz von f und g: (f – g): A ¥ R mit (f – g)(x) = f(x) – g(x) ƒƒ Produkt von f und g: (f · g): A ¥ R mit (f · g)(x) = f(x) · g(x) ƒƒ Quotient von f und g: ​ f _ g :​ A ¥ R mit ​ f _ g ​(x) = ​ f(x) _ g(x) ​(sofern g(x) ≠ 0 für alle x * A) R x f (x) f(A) f(x) x A f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv