Mathematik verstehen 8, Schulbuch

141 9 .1 Algebra und Geometrie Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · _ À g und h: X = Q + t · _ À h: Ist _ À g u _ À h , dann ist auch g u h. Zur Überprüfung, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, betrachtet man einen Punkt P = (p 1 1 p 2 ) * g und einen Punkt Q = (q 1 1 q 2 ) * h.  Ist _ À PQ û _ À g, sind g und h verschieden.  Ist _ À PQ u _ À g, ist g = h. Ist _ À g û _ À h , dann schneiden die beiden Geraden einander. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · _ À g= Q + t · _ À h w { p 1 + s · g 1 = q 1 + t · h 1 p 2 + s · g 2 = q 2 + t · h 2 Aus diesem Gleichungssystem kann man s und t ermitteln. Der Schnittpunkt S lässt sich durch S = P + s · _ À goder S = Q + t · _ À hberechnen. Beachte, dass die Parameter der beiden Geraden verschieden bezeichnet werden müssen! Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in ℝ 3 Zwei Geraden in R 3 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind g und h sind parallel g und h sind parallel einander zueinander windschief und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = { } g ° h = g = h Ermitteln der gegenseitigen Lage der Geraden g: X = P + s · _ À gund h: X = Q + t · _ À h: Ist _ À g u _ À h, dann ist auch g u h. Ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind, kann man wie in R 2 entscheiden. Ist _ À g û _ À h, dann schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Welcher Fall eintritt, stellt sich bei dem Versuch, den Schnittpunkt zu berechnen, heraus. Berechnen des Schnittpunktes: P + s · _ À g= Q + t · _ À h w { p 1 + s · g 1 = q 1 + t · h 1 p 2 + s · g 2 = q 2 + t · h 2 p 3 + s · g 3 = q 3 + t · h 3 Aus zwei dieser Gleichungen kann man s und t ermitteln. Erfüllen die erhaltenen Parameterwer- te auch die dritte Gleichung, existiert der Schnittpunkt S und dieser lässt sich durch S = P + s · _ À g oder S = Q + t · _ À hberechnen. Andernfalls existiert kein Schnittpunkt. Abstand eines Punktes von einer Geraden in ℝ 2 Satz (Hesse’sche Abstandsformel in ℝ 2 ) Sei P ein Punkt in R 2 , g eine Gerade in R 2 mit einem Normalvektor _ À nund A ein beliebiger Punkt von g. Dann gilt für den Abstand d des Punktes P von der Geraden g: d = † _ À AP· _ À n † __ † _ À n † R g h S h g g h h g h g P Q h g g = h P Q h g R g A P d n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv