Mathematik verstehen 8, Schulbuch

140 9 Kompendium für die Rei feprüfung Richtungsvektoren und Normalvektoren einer Geraden Ein Richtungsvektor von g ist ein Vektor _ À g= _ À PQmit P, Q * g und P ≠ Q. Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt. Ein Normalvektor von g ist ein Vektor _ À n, der zu jedem Richtungsvektor von g normal ist. Eine Gerade in R 2 ist durch einen Punkt und einen Normalvektor festgelegt. Parameterdarstellung und Normalvektordarstellung einer Geraden Parameterdarstellung in R 2 (bzw. R 3 ) Normalvektordarstellung (Gleichung) in R 2 X = P + t · _ À g _ À n· X = _ À n· P bzw. n 1 x + n 2 y = c X … laufender Punkt (mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 ) P … fester Punkt X = (x 1 y) … laufender Punkt _ À g… Richtungsvektor von g P = (p 1 1 p 2 ) … fester Punkt t … Parameter _ À n= (n 1 1 n 2 ) … Normalvektor von g Beachte : Eine Parameterdarstellung X = P + t · _ À g ordnet jedem Parameter t * R einen Punkt auf der Geraden g zu und umgekehrt. Eine Punktmenge {X * ℝ 2 (bzw. ℝ 3 ) ‡ X = P + t · _ À g ? t * ℝ } heißt Gerade in R 2 (bzw. R 3 ). Eine Gerade kann verschiedene Parameterdarstellungen haben, weil P und _ À gverschieden gewählt werden können. Der Parameterwert eines Punktes auf der Geraden hängt dabei von der gewählten Parameterdarstellung ab. Eine Parameterdarstellung wird unter Umständen einfacher, wenn man den Richtungsvektor durch ein geeignetes Vielfaches ersetzt. Eine Gerade in R 3 kann nicht (!) durch eine Normalvektordarstellung (Gleichung) beschrieben werden. Jede Gleichung n 1 x + n 2 y + n 3 z = c mit (n 1 1 n 2 1 n 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) stellt nämlich eine Ebene im Raum dar. Gegenseitige Lage und Schnitt von Geraden in ℝ 2 Zwei Geraden in R 2 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind parallel g und h sind parallel einander und verschieden und zusammenfallend g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = g = h R g P Q g g P n g R g P X g g P X n R 2. A. 1. A. a b h g g h S 2. A. 1. A. Q g P h a b 2. A. 1. A. g = h P Q b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv