Mathematik verstehen 8, Schulbuch

14 1 Stammfunkt ion und Integral Beim Symbol : a b f(x) dxist im Gegensatz zum Symbol : a b fdie Integrationsvariable ersichtlich. Das ist oft von Vorteil. ZB muss man folgende Integrale unterscheiden: : a b x 2 ydx bedeutet : a b f(x) dx mit f(x) = x 2 y (y konstant). Man sagt: „Es wird nach x integriert.“ : a b x 2 ydy bedeutet : a b g(y) dy mit g(y) = x 2 y (x konstant). Man sagt: „Es wird nach y integriert.“ Aufgaben 1 .17 Gegeben ist das Integral : 0 1 u – 1 _ 2 du. a) Wie lautet der Integrand? b) Wie lautet die Integrationsvariable? c) Wie lautet die untere, wie die obere Grenze des Integrals? d) Welche der folgenden Integrale stellen die gleiche Zahl dar wie das gegebene Integral: (1) : 0 1 u – 1 _ 2 dv (2) : 0 1 y – 1 _ 2 dy (3) : 0 1 1 _ 2 · (x – 1)dz (4) : 0 1 1 _ 2 · (x – 1)dx (5) : 1 0 2 x _ 2 – 1 _ 2 3 dx Darstellung eines Flächeninhalts als Integral Es sei f eine in einem Intervall [a; b] stetige Funktion, die nur nichtnegative Werte annimmt, und A(a, b) der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche. Die Unter- und Obersummen von f in [a; b] kann man als Summen der Inhalte von eingeschriebenen bzw. umgeschriebenen Recht- ecken geometrisch deuten. Damit ist anschaulich klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von f in [a; b] gilt: U ª A(a, b) ª O Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle Untersummen U und alle Ober- summen O von f in [a; b]: U ª : a b f(x) dx ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt, muss gelten: A(a, b) = : a b f(x) dx Satz (Flächeninhalt als Integral) Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f(x) º 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A(a, b) = : a b f(x) dx R R kompakt Seite 22 f A (a, b) a b 0 f (x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv