Mathematik verstehen 8, Schulbuch

139 9 .1 Algebra und Geometrie Satz: Für alle _ À a * R n und alle r * R gilt: (1) † r · _ À a † = † r † · † _ À a † (2) † _ À a † = 9 __ _ À a 2 = 9 ___ _ À a· _ À a (3) † _ À a † 2 = _ À a 2 = _ À a· _ À a Definition Ist _ À a≠ _ À o, so heißt der Vektor _ À a 0 = 1 _ † _ À a † · _ À a der zu _ À agehörige Einheitsvektor . Der Vektor _ À a 0 ist zu _ À a parallel , gleich gerichtet und hat die Länge 1 . Abtragen von Strecken: Wird von P aus eine Strecke der Länge d in Richtung des Vektors _ À aabgetragen, so ergibt sich für den Endpunkt: Q = P + d · _ À a 0 Winkelmaß zweier Vektoren Zwei von _ À overschiedene Vektoren _ À a, _ À baus ℝ 2 bzw. ℝ 3 seien durch Pfeile von einem gemeinsa- men Anfangspunkt S aus dargestellt. Das Maß φ des Winkels, den diese Pfeile miteinander ein- schließen, nennt man das Winkelmaß der Vektoren _ À aund _ À b . Für gleich gerichtete Pfeile ist φ = 0°, für entgegengesetzt gerichtete Pfeile ist φ = 180°. In allen anderen Fällen nimmt man von den beiden möglichen Winkelmaßen φ und 360° – φ stets das kleinere. Es gilt somit stets: 0° ª φ ª 180° . Satz Für das Winkelmaß φ der vom Nullvektor verschiedenen Vektoren _ À a, _ À baus R 2 ( R 3 ) gilt: cos φ = _ À a· _ À b __ † _ À a † · † _ À b † _ À a· _ À b> 0 É spitzer Winkel _ À a· _ À b= 0 É rechter Winkel _ À a· _ À b< 0 É stumpfer Winkel Besonders wichtig ist der Fall des rechten Winkels: Satz (Orthogonalitätskriterium) Für alle _ À a, _ À b≠ _ À ogilt: _ À a © _ À b É _ À a· _ À b= 0 Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks Satz: Für den Flächeninhalt des von den Vektoren _ À aund _ À bin ℝ 2 bzw. ℝ 3 aufgespannten Dreiecks gilt: A = 1 _ 2 · 9 ________ _ À a 2 · _ À b 2 – ( _ À a· _ À b) 2 a 0 a 1 P d Q a R a b S S a φ b S' 360° – φ 180° b φ = 0° a φ a b a b φ a b R a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv