Mathematik verstehen 8, Schulbuch

137 9 .1 Algebra und Geometrie Flächeninhalt eines Dreiecks Satz (Trigonometrische Flächeninhaltsformel für Dreiecke) A = a · b _ 2 · sin γ = a · c _ 2 · sin β = b · c _ 2 · sin α ( Merkregel: Seite mal Seite durch 2 mal Sinus des eingeschlossenen Winkels) Vektoren in ℝ n Definition R n = {(a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) ‡ a 1 , a 2 , …, a n * R } = Menge aller n-Tupel reeller Zahlen Insbesondere: R 2 = Menge aller Paare reeller Zahlen , R 3 = Menge aller Tripel reeller Zahlen Die Elemente der Menge R n , also die n-Tupel (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ), heißen auch Vektoren in R n mit den Koordinaten a 1 , a 2 , …, a n . Man kann diese in Zeilen- oder in Spaltenform anschreiben. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie dieselben Zahlen in derselben Reihenfolge enthalten. Definition (Rechenoperationen für Vektoren) (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) + (b 1 1 b 2 1 … 1 b n ) = (a 1 + b 1 1 a 2 + b 2 1 … 1 a n + b n ) (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) – (b 1 1 b 2 1 … 1 b n ) = (a 1 – b 1 1 a 2 – b 2 1 … 1 a n – b n ) r · (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) = (r · a 1 1 r · a 2 1 … 1 r · a n ) Beachte : Die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl erfolgen koordinatenweise. Der Vektor O = (0 1 0 1 … 1 0) heißt Nullvektor in ℝ n . Der Vektor –A = (–a 1 1 – a 2 1 … 1 – a n ) heißt Gegenvektor ( inverser Vektor ) zum Vektor A = (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) . Für das Rechnen mit Vektoren in ℝ n gelten ähnliche Gesetze wie für reelle Zahlen, es gibt aber auch Unterschiede (zB kann man Vektoren nicht durcheinander dividieren). Geometrische Darstellung von Vektoren in ℝ 2 bzw. ℝ 3 Vektoren in R 2 kann man als Punkte Vektoren in R 3 kann man als Punkte oder Pfeile in einem zweidimensionalen oder Pfeile in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen: Koordinatensystem darstellen: Jedem Vektor in R 2 ( R 3 ) entspricht genau ein Punkt der Ebene (des Raumes). Umgekehrt entspricht jedem Punkt der Ebene (des Raumes) genau ein Vektor in R 2 ( R 3 ). Jedem Vektor in R 2 ( R 3 ) entsprechen unendlich viele Pfeile der Ebene (des Raumes), die alle gleich lang und (vom Nullvektor abgesehen) parallel und gleich gerichtet sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil der Ebene (des Raumes) genau ein Vektor in R 2 ( R 3 ). R α b c a β γ R R 2. A. 1. A. a 2 a 1 A 0 a 2 a 1 2. A. 1. A. a a 2 a 1 a 0 0 A 3. A. 2. A. 1. A. a 3 a 1 a 2 3. A. 1. A. 2. A. 0 a 3 a 1 a 2 a a 3 a 1 a 2 a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv