Mathematik verstehen 8, Schulbuch

136 9 Kompendium für die Rei feprüfung Erweiterung von Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Quadranten Allgemein setzt man für r > 0 und 0° ª φ < 360°: sin φ = y _ r , cos φ = x _ r tan φ = y _ x (sofern φ ≠ 90° und φ ≠ 270°) Sinus- und Cosinuswerte besonderer Winkel kann man sich mit der nebenstehenden „Einhalb-mal-Wurzel-Regel“ merken. Sinus und Cosinus im Einheitskreis Für r = 1 gilt: cos φ = x _ r = x _ 1 = x und sin φ = y _ r = y _ 1 = y Darstellung von Sinus und Cosinus als Stellen auf den Koordinatenachsen: (1) (2) (3) (4) Darstellung von Sinus und Cosinus als vorzeichenbehaftete Strecken: (1) (2) (3) (4) Strecken von O aus nach rechts oder nach oben erhalten ein positives Vorzeichen. Strecken von O aus nach links oder nach unten erhalten ein negatives Vorzeichen. Wichtige Beziehungen, die man am Einheitskreis ablesen kann: Satz Für alle Winkelmaße φ mit 0° ª φ < 360° gilt: (1) –1 ª sin φ ª 1 (3) sin 2 φ + cos 2 φ = 1 (4) sin(180° – φ ) = sin φ (2) –1 ª cos φ ª 1 (5) cos(180° – φ ) = – cos φ Gleichungen sin φ = c und cos φ = c mit 0° ª φ < 360° besitzen für –1 < c < 1 stets genau zwei Lösungen φ 1 und φ 2 . R α sin α 0° 1 _ 2 9 _ 0 90° 30° 1 _ 2 9 _ 1 60° 45°  1 _ 2 9 _ 2 45° 60°  1 _ 2 9 _ 3 30° 90°  1 _ 2 9 _ 4 0° cos α α R 1 y x y x y x y x – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 – 1 1 –1 φ P sin φ cos φ φ P sin φ cos φ φ sin P φ cos φ φ P sin φ cos φ O O O O y x y x y x y x φ 1 φ 2 0 c 1 y 1 x 0 c 1 y 1 x φ 1 φ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv