Mathematik verstehen 8, Schulbuch

135 9 .1 Algebra und Geometrie Lösungsfälle linearer Gleichungssysteme in zwei Variablen { a 1 x + a 2 y = a 0 , (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) b 1 x + b 2 y = b 0 , (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) Die beiden Gleichungen entsprechen geometrisch zwei Geraden g und h in der Ebene mit den Normalvektoren _ À a= (a 1 1 a 2 ) und _ À b= (b 1 1 b 2 ). Jede Lösung (x 1 y) des Gleichungssystems entspricht einem Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Folgende Lösungsfälle sind möglich: genau eine Lösung keine Lösung unendlich viele Lösungen g ° h = {S} g ° h = { } g ° h = g = h (b 1 1 b 2 ) ≠ r · (a 1 1 a 2 ) (b 1 1 b 2 ) = r · (a 1 1 a 2 ) (b 1 1 b 2 ) = r · (a 1 1 a 2 ) und b 0 ≠ r · a 0 und b 0 = r · a 0 Satz Die Menge der Lösungen eines Gleichungssystems mit zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen ist leer , enthält einen Punkt in R 2 oder ist eine Gerade in R 2 . Sinus, Cosinus und Tangens Definition In einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Winkelmaß φ , der Hypotenusenlänge H, der Gegenkathetenlänge G und der Ankathetenlänge A setzt man: sin φ = G _ H , cos φ = A _ H , tan φ = G _ A Polarkoordinaten (x 1 y) … kartesische Koordinaten von P [r 1 φ ] … Polarkoordinaten von P (≠ O) r = _ OP … Polarabstand von P φ … Polarwinkelmaß von P Der Polarwinkel wird von der positiven 1. Achse aus im Gegenuhrzeigersinn gemessen. Es gilt: 0° ª φ < 360° . Dem Nullpunkt O wird kein Polarwinkelmaß zugeordnet. Jedem Punkt P = (x 1 y) ≠ O der Ebene entspricht genau ein Paar [r 1 φ ] mit r * R + und φ * [0°; 360°) und umgekehrt. Wir schreiben: P = (x 1 y) = [r 1 φ ] Umrechnungsformeln für kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten x = r · cos φ , y = r · sin φ bzw. r = 9 ____ x 2 + y 2 , tan φ = y _ x R y x g h S b a y x h g b a y x g = h b a R A h G φ R y x φ P r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv