Mathematik verstehen 8, Schulbuch

134 9 Kompendium für die Rei feprüfung Gleichungen höheren Grades Seien a n , a n – 1 , …, a 0 reelle Zahlen. Polynom vom Grad n: a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit a n ≠ 0) Polynomfunktion f vom Grad n: f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (mit a n ≠ 0) (Algebraische) Gleichung vom Grad n: a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 (mit a n ≠ 0) Das Ermitteln der Lösungen einer Gleichung vom Grad n ist gleichwertig mit dem Ermitteln der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Satz Ist f(x) ein Polynom vom Grad n und x 0 eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, dann gilt f(x) = (x – x 0 ) · g(x) für alle x * R , wobei g(x) ein Polynom vom Grad n – 1 ist. Man sagt dazu: Der Linearfaktor (x – x 0 ) wird von f(x) abgespaltet. Um neben der Lösung x 0 all fällige weitere Lösungen der Gleichung f(x) = 0 zu ermitteln, ist nur mehr die Gleichung g(x) = 0 zu lösen. Durch fortlaufendes Abspalten von Linearfaktoren erkennt man: Satz (1) Eine Gleichung vom Grad n hat höchstens n Lösungen . (2) Eine Polynomfunktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen . Eine Gleichung vom Grad n kann aber weniger als n Lösungen haben. ZB hat die Gleichung x 2 – 2x + 1 = 0 nur die Lösung 1, was man sofort erkennt, wenn man die Gleichung in der Form (x – 1) 2 = 0 schreibt. Carl Friedrich Gauß (1777–1855) hat darüber hinaus bewiesen: Satz (Fundamentalsatz der Algebra) Jede Gleichung vom Grad n mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung. Nach diesem Satz ist jede algebraische Gleichung mit komplexen (insbesondere also auch mit reellen) Koeffizienten in C lösbar. Es besteht somit – zumindest vom Standpunkt des Gleichungs lösens aus – keine Notwendigkeit, die Menge C der komplexen Zahlen zu erweitern. Lineare Gleichungssysteme in zwei bzw. drei Variablen (Unbekannten) Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen in den Unbekannten x und y: Gleichungssystem mit drei linearen Gleichungen in den Unbekannten x, y, z: { a 1 x + a 2 y = a 0 , b 1 x + b 2 y = b 0 ,   (a 1 1 a 2 ) ≠ (0 1 0) (b 1 1 b 2 ) ≠ (0 1 0) { a 1 x + a 2 y + a 3 z = a 0 , (a 1 1 a 2 1 a 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) b 1 x + b 2 y + b 3 z = b 0 , (b 1 1 b 2 1 b 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) c 1 x + c 2 y + c 3 z = c 0 , (c 1 1 c 2 1 c 3 ) ≠ (0 1 0 1 0) Ein Zahlenpaar (x 1 y) heißt Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. Ein Zahlentripel (x 1 y 1 z) heißt Lösung des Gleichungssystems , wenn die reellen Zahlen x, y, z alle drei Gleichungen erfüllen. Derartige Gleichungssysteme können ua. mit der Substitutionsmethode oder der Eliminations methode gelöst werden (siehe Mathematik verstehen 5, Seite 190 und Mathematik verstehen 6, Seite 194). R R Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv