Mathematik verstehen 8, Schulbuch

133 9 .1 Algebra und Geometrie Darstellung von a + bi ≠ 0 in der Gauß’schen Zahlenebene : r = † a + bi † . . . . . . . . . . . . Betrag von a + b φ = arg(a + bi) . . . . . . . . . . Argument von a + bi a + bi = r · (cos φ + i · sin φ ) . . . . Polardarstellung von a + bi r = 9 ____ a 2 + b 2 , tan φ = b _ a (falls a ≠ 0) a = r · cos φ , b = r · sin φ Satz (Potenzen einer komplexen Zahl) A = r · (cos φ + i · sin φ ) w A n = r n · (cos(n φ ) + i · sin(n φ )) (mit n * N *) Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung hat die Form a · x + b = 0 (mit a, b * R und a ≠ 0). Satz Eine lineare Gleichung a · x + b = 0 mit a, b * R und a ≠ 0 hat genau eine Lösung : x = – b _ a . Quadratische Gleichungen Eine quadratische Gleichung hat die Form: ax 2 + bx + c = 0 (mit a, b, c * R und a ≠ 0) Dividiert man eine solche Gleichung durch a, erhält man ihre normierte Form : x 2 + px + q = 0 (mit p, q * R ) Die Zahl D = b 2 – 4ac bzw. D = 2 p _ 2 3 2 – q bezeichnet man als Diskriminante der quadratischen Gleichung. Satz x 2 + px + q = 0 mit D = 2 p _ 2 3 2 – q hat ax 2 + bx + c = 0 mit D = b 2 – 4ac hat  zwei reelle Lösungen , wenn D > 0  zwei reelle Lösungen , wenn D > 0  genau eine reelle Lösung , wenn D = 0  genau eine reelle Lösung , wenn D = 0  keine reelle Lösung , wenn D < 0  keine reelle Lösung , wenn D < 0 (zwei konjugiert komplexe Lösungen) (zwei konjugiert komplexe Lösungen) „Kleine Lösungsformel“: „Große Lösungsformel“: x 2 + px + q É x = – p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q ax 2 + bx + c = 0 É x = –b ± 9 _____ b 2 – 4ac __ 2a Satz (Satz von Vieta) Besitzt eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x 2 (die auch zusammen- fallen können), so gilt: (1) x 2 + px + q = (x – x 1 ) · (x – x 2 ) (2) p = – (x 1 + x 2 ) und q = x 1 · x 2 Die Beziehung (1) drückt man auch so aus: Der Term x 2 + px + q wird in die Linearfaktoren (x – x 1 ) und (x – x 2 ) zerlegt. 0 a r φ b a + bi reelle Achse imaginäre Achse R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv