Mathematik verstehen 8, Schulbuch

132 9 Kompendium für die Rei feprüfung Definition Potenzen mit natürlichen Exponenten: a n = a · a ·…· a (a * R , n * N *) 144444444344444445 n Faktoren Potenzen mit ganzen Exponenten: a 0 = 1 und a –n = 1 _ a n (a * R *, n * N *) Potenzen mit rationalen Exponenten: a m _ n = n 9 __ a m (a * R + , m * Z , n * N *) Rechenregeln für Potenzen (1) a x · a y = a x + y (2) a x _ a y = a x – y (3) (a x ) y = a x · y (4) (a · b) x = a x · b x (5) 2 a _ b 3 x = a x _ b x Die zur Definition der Potenzen mit rationalen Exponenten nötigen Wurzeln sind so definiert: Definition Die n-te Wurzel aus a * R 0 + ist jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. Symbolisch: n 9 _ a= x É x n = a ? x º 0 Rechenregeln für Wurzeln (1) 2 n 9 _ a 3 n = a , 2 n 9 __ a n 3 = a , 2 n 9 _ a 3 k = n 9 __ a k (3) m 9 __ n 9 _ a= m· n 9 _ a (2) n 9 ___ a · b= n 9 _ a· n 9 _ b und n 9 _ a _ b = n 9 _ a _ n 9 _ b (b ≠ 0) (4) kn 9 __ a km = n 9 __ a m Logarithmen Definition: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jene Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten (a, b * ℝ , a ≠ 1). Symbolisch: log a b = x É a x = b oder kurz: a log a b = b ( Merkregel: Basis Logarithmus = Numerus ) Logarithmen zur Basis 10 heißen Zehnerlogarithmen (oder dekadische Logarithmen ), Logarith- men zur Basis e (Euler’sche Zahl) heißen natürliche Logarithmen . Statt log e x schreibt man lnx (logarithmus naturalis von x). Rechenregeln für Logarithmen Für alle a * ℝ + mit a ≠ 1 und alle x, y * ℝ + gilt: (1) log a (x · y) = log a x + log a y (2) log a x _ y = log a x – log a y (3) log a (x y ) = y · log a x Komplexe Zahlen Wählt man a, b * R , dann sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich: i mit i 2 = –1 . . . . . imaginäre Einheit bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . imaginäre Zahlen a + bi . . . . . . . . komplexe Zahlen (a heißt Realteil und b Imaginärteil der komplexen Zahl a + bi) a + bi und a – bi . . . konjugiert komplexe Zahlen C = Menge der komplexen Zahlen. Es gilt: R ² C Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier komplexer Zahlen sind wieder komplex: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (a + bi) : (c + di) = a + bi _ c + di = ac + bd _ c 2 + d 2 + bc – ad _ c 2 + d 2 · i (falls c + di ≠ 0) R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv