Mathematik verstehen 8, Schulbuch

13 1 . 2 Unter- und Obersummen, Integral Das Integral Wir betrachten eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte an- nimmt. Zu jeder Zerlegung von [a; b] können wir die Untersumme U und die Obersumme O von f in [a; b] bilden. Wenn wir an die näherungsweise Flächeninhaltsberechnung denken, dann sind die folgenden Aussagen anschaulich einleuchtend: U ª O (rechnerischer Nachweis in Aufgabe 1.21) Die Differenz O – U kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur alle Teilintervalle der Zerlegung genügend klein sind. Man kann beweisen, dass diese beiden Aussagen nicht nur gelten, wenn U und O zur gleichen Zerlegung von [a; b] gehören, sondern auch, wenn U und O zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören, und auch dann, wenn f negative Werte annimmt. Wir halten daher fest: Sei f eine in [a; b] stetige reelle Funktion. Ist U eine beliebige Untersumme und O eine beliebige Obersumme von f in [a; b], dann gilt: (1) U ª O (2) D ie Differenz O – U kann beliebig klein gemacht werden, wenn nur die Teilintervalle der zugehörigen Zerlegungen genügend klein sind. Dies lässt vermuten, dass es genau eine reelle Zahl I gibt, sodass U ª I ª O für alle Untersummen U und alle Obersummen O von [a; b] gilt (selbst wenn diese zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören). Auch diese Vermutung kann bewiesen werden. Die auf diese Weise eindeutig festgelegte Zahl I bekommt einen eigenen Namen: Definition (Integral) Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige reelle Funktion. Die eindeutig bestimmte reelle Zahl I, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt (genauer: U ª I ª O), nennt man das (bestimmte) Integral von f in [a; b] und schreibt: I = : a b f oder I = : a b f(x) dx Bemerkungen zum Integralsymbol: : a b fwird gelesen: „Integral von f zwischen den Grenzen a und b (oder von a bis b)“. a heißt untere Grenze , b heißt obere Grenze des Integrals. Die Funktion f bzw. der Funktionsterm f(x) wird Integrand genannt. Die Variable x heißt Integrationsvariable . Das Berechnen von Integralen nennt man Integrieren . Die Bezeichnung der Integrationsvariablen hat keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. Man kann daher die Integrationsvariable x durch jeden anderen Buchstaben ersetzen, zB: : a b f(x) dx = : a b f(t) dt = : a b f(u) du = … R U O Unterschied beliebig klein I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv