Mathematik verstehen 8, Schulbuch

129 Technologie kompakt l O Für konkrete anleitungen siehe technologietrainingshefte TECHNOLOGIE KOMPAKT GEOGEBRA CASIO CLASS PAD I I Räuber-Beute-Modell untersuchen Als Beispiel für ein Räuber-Beute-Modell wird die auf Seite 125 und 126 beschriebene Entwicklung der Populationszahlen R(t) der Luchse (Räuber) und B(t) der Schneeschuhhasen (Beute) in einem bestimmten Gebiet untersucht. Dabei gelten die folgenden Differentialgleichungen: B’(t) = (a – b) · B(t) – c · B(t) · R(t) und R’(t) = (d – e) · R(t) + f · B(t) · R(t) Die Parameter a , b , c , d , e , f und die Anfangsbedingungen B(0) = B 0 und R(0) = R 0 sind dabei gegeben. Die Graphen der Lösungs- funktionen sollen dabei für 0 ª t ª T gezeichnet werden. (In Aufgabe 8.09 wurde T = 600 gesetzt.) Algebra-Ansicht: Eingabe: B’(t, B, R) = ( a – b )*B – c *B*R Eingabe: R’(t, B, R) = ( d – e )*R + f *B*R Eingabe: NLöseDgl({B’, R’}, 0, { B 0 , R 0 }, T ) Ausgabe ¥ Graphen der Funktionen t ¦ B(t) und t ¦ R(t) Bemerkung: Zur besseren Übersichtlichkeit benennen wir die Graphen (Ortslinien) in Räuber bzw. Beute um. Für das Phasendiagramm: Werkzeug – Schieberegler erstellen mit Name t1, Intervall min = 0, max = 1, Schrittweite = 1 / Länge(Beute) Eingabe: P = (y(Punkt(Beute, t1)), y(Punkt(Räuber, t1))) Eingabe: Phasendiagramm = Ortslinie(P, t1) Grafik-Ansicht: Ausgabe ¥ Phasendiagramm Bemerkung: Erstellt man für die Parameter a, b, c, d, e, f Schieberegler, so kann man untersuchen, wie sich Veränderungen der einzelnen Parameter auf die Populations­ entwicklung auswirken. Bemerkung: Das CPII kann lineare Differentialgleichungs­ systeme 1. Ordnung lösen. Die Lotka-Volterra Gleichungen sind aber nichtlinear . Daher ist die grafische Darstellung der Entwick- lung der Räuber- und Beutepopulation mit dem CPII mittels direkter Eingabe nicht möglich. Allerdings lässt sich mit Hilfe eines numerischen Verfahrens eine gute Lösung erzielen: Iconleiste – Menu – Tabellenkalkulat. – Zelle A1: 0 Zelle A2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = A1 + 1 – Bereich: A2:A T + 1 – OK Zelle B1: B 0 Zelle C1: R 0 Zelle B2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = B1 + ( a – b ) ×B1 – c ×B1 ×C1 – Bereich: B2:B T + 1 – OK Zelle C2: Menüleiste – Edit – Füllen – Mit Wert Füllen – Formel: = C1 + ( d – e ) ×C1 + f ×B2×C1 – Bereich: C2:C T + 1 – OK Ausgabe ¥ Liste der Werte für B(0), B(1), …, B(T + 1) in Spalte B Ausgabe ¥ Liste der Werte für R(0), R(1), …, R(T + 1) in Spalte C Für die graphische Darstellung: Menüleiste – Edit – Wählen – Bereich wählen – Bereich: A1:C T + 1 – OK Menüleiste – Grafik – Scatter – Iconleiste – Resize Ausgabe ¥ Graphen der Funktionen t ¦ B(t) und t ¦ R(t) Für das Phasendiagramm: Menüleiste – Edit – Wählen – Bereich wählen – Bereich: B1:C T + 1 – OK Menüleiste – Grafik – Scatter – Iconleiste – Resize Ausgabe ¥ Phasendiagramm Ó TI-Nspire kompakt aw9jz2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv