Mathematik verstehen 8, Schulbuch

128 8 Vernetzte Systeme und deren Dynamik Setzt man die Ausdrücke der Gleichungen (2), (3) und (4) in (1) ein und nimmt (5) hinzu, erhält man das folgende System aus zwei Differentialgleichungen: { P’(t) = a · P(t) – b · P(t) – c · P(t) · G(t) G’(t) = d · P(t) Ersetzen wir im obigen Gleichungssystem t * ℝ 0 + durch n * ℕ , erhalten wir ein diskretes Modell. Für eine genügend kleine Zeiteinheit können wir P’(t) näherungsweise durch P(n + 1) – P(n) und G’(t) näherungsweise durch G(n + 1) – G(n) ersetzen und erhalten: { P(n + 1) ≈ P(n) + (a – b) · P(n) – c · P(n) · G(n) G(n + 1) ≈ G(n) + d · P(n) Nebenstehend ist dieses diskrete Modell mit den Forrester-Symbolen dargestellt. Dabei ist PZ die Populationszu- nahme im Intervall [n, n + 1], PA 1 die Populationsabnahme durch natürliche Sterbefälle im Intervall [n, n + 1], PA 2 die Popu- lationsabnahme durch die Giftwirkung im Intervall [n, n + 1] und GZ die Giftzunahme im Intervall [n, n + 1]. Aufgaben 8 .12 a) Führe für das soeben besprochene diskrete Modell für eine Populationsentwicklung bei Selbstvergiftung eine Simulation mit Technologieeinsatz durch! Verwende dabei folgende Werte: P(0) = 1 000, G(0) = 0, a = 0,4, b = 0,2, c = 0,002, d = 0,02. Stelle die Entwicklung von P und G grafisch dar! b) Erkläre, warum P anfangs zunimmt und dann auf null absinkt! c) Erkläre, warum G zunimmt und sich schließlich einem konstanten Wert nähert! Vor- und Nachteile verschiedener Darstellungen von Prozessen Differenzengleichungen versus Differentialgleichungen: Viele Prozesse können durch Differen tialgleichungen oder Differenzengleichungen beschrieben werden. Jede dieser Beschreibungen hat Vor-, aber auch Nachteile. Ein Vorteil der Differentialgleichungen gegenüber den Differenzen- gleichungen besteht darin, dass sie oft übersichtlicher sind, weil Differentialquotienten anstelle von Differenzenquotienten verwendet werden. Leider haben Differentialgleichungen den Nach- teil, dass man nur selten Lösungsfunktionen exakt angeben kann. In einem solchen Fall ersetzt man in der Praxis Differentialgleichungen durch Differenzengleichungen, um die Lösungsfunktio- nen wenigstens näherungsweise berechnen und tabellieren zu können. Einzelne Rekursionsgleichung versus rekursives Gleichungssystem: Ein rekursives Gleichungs system hat gegenüber einer einzelnen Rekursionsgleichung häufig den Vorteil größerer Über- sichtlichkeit. Zwar kann man oft durch fortlaufendes Einsetzen die Anzahl der Rekursionsglei- chungen des Systems verringern. Manchmal gelingt es sogar, das ganze System auf eine einzige Rekursionsgleichung zu reduzieren Diese kann aber unter Umständen recht lang und unüber- sichtlich werden. In einem solchen Fall zieht man ein rekursives Gleichungssystem einer einzel- nen Rekursionsgleichung vor. In einem rekursiven Gleichungssystem sind auch Änderungen leicht durchführbar, weil im Allgemeinen nur einzelne Gleichungen des Systems geändert wer- den müssen und nicht gleich das ganze System neu geschrieben werden muss. Dies erleichtert das Variieren der Modelle und das Experimentieren. P PZ a PA 1 b G GZ d PA 2 c R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv