Mathematik verstehen 8, Schulbuch

127 8 . 2 Modelle der Populat ionsentwicklung Wie realistisch sind solche Räuber-Beute-Modelle? Bei einer konkreten Anwendung auf eine Räuber-Beute-Situation ergeben sich zumindest zwei Schwierigkeiten. Erstens müssen die Proportionalitätsfaktoren a, b, c, d, e, f und die Anfangsbe- dingungen B(0) und R(0) anhand von empirischen Daten möglichst genau festgelegt werden. Zweitens erhebt sich die Frage, ob die im Modell verwendeten Größen und Annahmen ausrei- chen. Zum Beispiel haben Biologen im Fall der nordamerikanischen Schneeschuhhasen und Luchse herausgefunden, dass die von uns getroffenen Annahmen nicht ausreichen, sondern dass hier noch weitere Sachverhalte mitspielen. Grundsätzlich kann man ein Modell durch Einführen weiterer Größen und Annahmen jedoch stets verbessern. Man könnte etwa für die Beutepopula- tion ein (realistischeres) logistisches Wachstum annehmen. Gleichgewicht Falls es schwierig ist, geeignete Proportionalitätsfaktoren a, b, c, d, e, f sowie geeignete Anfangs- bedingungen zu finden, die ein bestimmtes Systemverhalten erzeugen sollen, ist es oft günstig, eine Simulation von einem Gleichgewichtszustand aus zu beginnen. Ein solcher liegt vor, wenn sowohl für die Beutetiere als auch für die Räuber die Zunahmerate gleich der Abnahmerate ist, dh. wenn gilt: B’ 1 (t) = B’ 2 (t) + B’ 3 (t) und R’ 1 (t) + R’ 3 (t) = R’ 2 (t). Aufgaben 8 .10 (Fortsetzung von 8.09): Zeige, dass im Modell in Aufgabe 8.09 genau dann Gleichgewicht herrscht, wenn gilt: R(0) = ​ a – b _ c ​ und B(0) = ​ e – d _ f ​! Gib R(0) und B(0) an! 8 .11 (Fortsetzung von 8.09): Für ein Räuber-Beute-Modell gelten die Werte für B(0), R(0), a, b, d, e wie in Aufgabe 8.09. Berechne die fehlenden Werte c und f unter der Annahme, dass sich die beiden Populationen im Gleichgewicht befinden! Führe eine Simulation mit Technologieeinsatz durch und stelle das Ergebnis grafisch dar! Populationsentwicklung bei Selbstvergiftung Das Wachstum einer Population kann durch „Gifte“ beeinträchtigt werden, die durch das Wirken früherer Generationen entstanden sind (zB. atomare Katastrophen) oder von den Individuen lau- fend erzeugt werden (zB. Umweltverschmutzung). Die Folgen solcher Ereignisse können im All- gemeinen nicht sofort beseitigt werden, sondern wirken über viele Generationen. Wir untersu- chen die Entwicklung einer solchen Population. Wir bezeichnen die Größe der Population zum Zeitpunkt t mit P(t) , die vorhandene Giftmenge zum Zeitpunkt t mit G(t) und treffen folgende Annahmen : (1) Die Änderungsrate P’(t) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahmerate P’ 1 (t) durch Geburten, der Abnahmerate P’ 2 (t) durch natürliche Sterbefälle und der Abnahmerate P’ 3 (t) durch die Giftwirkung: P’(t) = P’ 1 (t) – P’ 2 (t) – P’ 3 (t) (2) P’ 1 (t) ist direkt proportional zu P(t): P’ 1 (t) = a · P(t) (3) P’ 2 (t) ist direkt proportional zu P(t): P’ 2 (t) = b · P(t) (4) P’ 3 (t) ist direkt proportional zu P(t) · G(t), denn dieses Produkt drückt den Grad der Kontaktmöglichkeiten zwischen den P(t) Individuen und der Giftmenge G(t) aus: P’ 3 (t) = c · P(t) · G(t) (5) Die Giftzunahmerate G’(t) ist direkt proportional zu P(t): G’(t) = d · P(t) R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv