Mathematik verstehen 8, Schulbuch

126 8 Vernetzte Systeme und deren Dynamik Setzt man die Ausdrücke der Gleichungen (2), (3) und (4) in (1) ein, erhält man: B’(t) = a · B(t) – b · B(t) – c · B(t) · R(t) B’(t) = (a – b) · B(t) – c · B(t) · R(t) Setzt man die Ausdrücke der Gleichungen (2’), (3’) und (4’) in (1’) ein, erhält man: R’(t) = d · R(t) – e · R(t) + f · B(t) · R(t) R’(t) = (d – e) · R(t) + f · B(t) · R(t) Wir erhalten also das folgende System aus zwei Differentialgleichungen: ​ { ​ B’(t) = (a – b) · B(t) – c · B(t) · R(t) R​ ’​(t) = (d – e) · R(t) + f · B(t) · R(t) ​ ​ Dabei gilt a > b und d < e. Man nimmt also an, dass die Beutepopulation in Abwesenheit der Räuber exponentiell wachsen würde, und dass die Räuberpopulation in Abwesenheit der Beute exponentiell aussterben würde. Leider kennen wir keine Methode, dieses System von Differentialgleichungen exakt zu lösen. Mittels Technologieeinsatz kann allerdings eine numerische Lösung gefunden werden. Damit kann man ausgehend von Anfangsbedingungen fur B(0) und R(0) den zeitlichen Verlauf der Funktionen B(t) und R(t) wenigstens näherungsweise berechnen. 8 . 09 Führe für dieses Räuber-Beute-Modell mit Technologieeinsatz eine Simulation für folgende Werte durch: B(0) = 100, R(0) = 30, a = 1,9, b = 1,85, c = 0,002, d = 1,3, e = 1,36, f = 0,001. Lösung: Wir gehen wie auf Seite 125 vor und stellen die Funktionen t ¦ B(t) und t ¦ R(t) in einem ge- meinsamen Koordinatensystem dar! Man erhält die Graphen in der nachfolgenden linken Abbil- dung. Stellt man die Punkte (B(t) 1 R(t)) für t º 0 in einem Koordinatensystem mit den Achsen B(t) und R(t) dar, erhält man ein Phasendiagramm wie in der rechten Abbildung. Anhand beider Dia- gramme kann man erkennen, dass dieses einfache Modell ein periodisches Verhalten aufweist. kompakt Seite 129 t B(t), R(t) Beute Räuber 100 200 30 400 500 600 0 20 40 60 80 100 120 0 B(t) R(t) 50 100 20 40 60 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv