Mathematik verstehen 8, Schulbuch

125 8 . 2 Modelle der Populat ionsentwicklung 8 . 2 Modelle der Populationsentwicklung Räuber-Beute-Modelle In der folgenden Abbildung sind die Anzahlen der Schneeschuhhasen bzw. Luchse, in einer nord- amerikanischen Region während eines Zeitraums dargestellt. (Die Anzahlen wurden aus entspre- chenden Fangzahlen erschlossen.) Dabei fallen periodische Schwankungen sowie eine gewisse „Parallelität“ der Entwicklungen auf. Dies kann man so erklären: Schneeschuhasen sind die bevorzugte Beute von Luchsen. Anfäng- lich wächst die Hasenpopulation. Durch das vermehrte Nahrungsangebot wächst daraufhin auch die Luchspopulation. Mehr Luchse erlegen aber mehr Hasen, wodurch die Hasenpopulation wie- der abnimmt. Durch das verminderte Nahrungsangebot sinkt daraufhin wiederum die Luchspo- pulation. Usw. Der amerikanischen Chemiker Alfred Lotka und der italienischen Mathematiker und Physiker Vito Volterra haben unabhängig voneinander ein kontinuierliches Modell für eine Räuber-Beute- Beziehung dieser Art erstellt, das wir im Folgenden besprechen. Wir bezeichnen die Größe der Beutepopulation zum Zeitpunkt t mit B(t ) und die Größe der Räu- berpopulation zum Zeitpunkt t mit R(t) (mit t * ​ ℝ ​ 0 ​ + ​). Darüber hinaus treffen wir folgende Annahmen: Annahmen über die Beutepopulation: Annahmen über die Räuberpopulation: (1) Die Änderungsrate B’(t) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahme­ rate B’ 1 (t) durch Geburten, der Abnahme­ rate B’ 2 (t) durch natürliche Todesfälle und der Abnahmerate B’ 3 (t) durch Getötet­ werden durch Räuber: B’(t) = B’ 1 (t) – B’ 2 (t) – B’ 3 (t) (1’) Die Änderungsrate R’(t) setzt sich aus drei Komponenten zusammen, der Zunahme­ rate R’ 1 (t) durch Geburten, der Abnahme­ rate R’ 2 (t) durch natürliche Todesfälle und der Zunahmerate R’ 3 (t) durch Fressen von Beutetieren: R’(t) = R’ 1 (t) – R’ 2 (t) + R’ 3 (t) (2) Die Zunahmerate B’ 1 (t) ist direkt proportional zu B(t): B’ 1 (t) = a · B(t) (2’)Die Zunahmerate R’ 1 (t) ist direkt proportional zu R(t): R’ 1 (t) = d · R(t) (3) Die Abnahmerate B’ 2 (t) ist direkt proportional zu B(t): B’ 2 (t) = b · B(t) (3’)Die Abnahmerate R’ 2 (t) ist direkt proportional zu R(t): R’ 2 (t) = e · R(t) (4) Die Abnahmerate B’ 3 (t) ist direkt proportio- nal zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es B(t) · R(t) Kontaktmöglichkeiten: B’ 3 (t) = c · B(t) · R(t) (4’)Die Zunahmerate R’ 3 (t) ist direkt proportio- nal zur Anzahl der Kontaktmöglichkeiten von Beutetieren und Räubern. Da jedes Beutetier mit jedem Räuber in Kontakt kommen kann, gibt es B(t) · R(t) Kontaktmöglichkeiten: R’ 3 (t) = f · B(t) · R(t) R 20 000 100 000 0 Anzahl Schneeschuhhasen Luchse 1910 1920 1930 Jahr Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv