Mathematik verstehen 8, Schulbuch

124 8 Vernetzte Systeme und deren Dynamik Flussdiagramme Der amerikanische Mathematiker Jay W. Forrester entwickelte zur Beschreibung von vernetzten Systemen so genannte Flussdiagramme . Die Struktur dieser Diagramme erläutern wir anhand der Entwicklung eines Kapitals K auf einem Konto. Das Kapital K kann durch Geldzufluss (Einzahlungen, Verzinsung) vergrößert und durch Geldabfluss (Abhebungen, Kontogebühren) verkleinert werden. In der nebenstehenden Abbildung stellt der grün unterlegte Pfeil zu K hin den Zufluss und der grün unterlegte Pfeil von K weg den Abfluss dar. Diese Pfeile werden Flusspfeile genannt. Die Wolkensymbole am Anfang und am Ende bedeuten, dass im Modell keine Aussagen darüber gemacht werden, woher der Zu- fluss kommt bzw. wohin der Abfluss führt. Mit Hilfe der Wolkensymbole können somit die Gren- zen des Modells angegeben werden. Um Aussagen über die Stärke des Zu- bzw. Abflusses machen zu können, werden die Zuflussrate KZ und die Abflussrate KA des Kapitals angegeben. Diese Raten sind je nach Modell momenta- ne Änderungsraten zu bestimmten Zeitpunkten oder mittlere Änderungsraten in vorgegebenen Zeitintervallen. Sie werden als „Ventile“ dargestellt und geben die Stärke des Zu- bzw. Abflusses pro Zeiteinheit an. Meist hängen die Zufluss- und Abflussrate des Kapitals K von K selbst ab, zum Beispiel wenn das Kapital verzinst wird oder Abhebungen getätigt werden. Der Einfluss von K auf KZ bzw. KA wird durch Wirkungspfeile sichtbar gemacht. Falls KZ oder KA zu K direkt proportional ist, dh. falls KZ = z · K oder KA = a · K gilt, werden die Proportionalitätsfaktoren z und a als Hilfsgrößen an die Ventile wie in nebenstehender Abbil- dung angehängt. Zusammenfassung der Symbole in einem Flussdiagramm: Bestandsgrößen: Eine Bestandsgröße gibt zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Bestand (zB Höhe eines Kapitals) an. Flussraten: Flussraten geben den Zu- bzw. Abfluss pro Zeiteinheit an. Hilfsgrößen: Eine Hilfsgröße gibt meist einen Proportionalitätsfaktor an. Falls etwas anderes gemeint ist, muss dies extra angegeben werden. Flusspfeile: Flusspfeile stellen Zuflüsse zu Bestandsgrößen bzw. Abflüsse von Bestandsgrößen dar. Wirkungspfeile: Wirkungspfeile geben an, dass eine Wirkung von einer Bestandsgröße auf eine andere Bestandsgröße besteht. Wolkensymbole: Wolkensymbole stellen Ursprünge oder Enden von Zu- bzw. Ab- flüssen dar, die nicht näher betrachtet werden. R K K KZ KA K KZ KA K KZ z KA a K KZ KA z a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv