Mathematik verstehen 8, Schulbuch

12 1 Stammfunkt ion und Integral 1 .16 (Fortsetzung von 1.15) Wie genau kann A(0; 4) berechnet werden? Lösung: Wir teilen das Intervall [0; 4] in n gleich lange Teilintervalle. Die Teilungspunkte bezeichnen wir mit x 0 , x 1 , x 2 … x n , wobei x 0 = 0 und x n = 4 ist. Die Länge eines Teilintervalles bezeichnen wir mit Δ x [sprich: Delta x]. Jedes Teilintervall hat die Länge Δ x = 4 _ n . Wir erhalten damit: Obersumme = f(x 0 ) · Δ x + f(x 1 ) · Δ x + f(x 2 ) · Δ x + … + f(x n – 1 ) · Δ x Untersumme = f(x 1 ) · Δ x + f(x 2 ) · Δ x + … + f(x n – 1 ) · Δ x + f(x n ) · Δ x Obersumme – Untersumme = f(x 0 ) · Δ x – f(x n ) · Δ x = (f(x 0 ) – f(x n )) · Δ x = = (f(0) – f(4)) · Δ x = (10 – 2) · 4 _ n = 32 _ n Wir sehen: Der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn man nur die Anzahl n der Teilintervalle genügend groß wählt. Somit kann A(0; 4) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden. Allgemeine Beschreibung von Ober- und Untersummen Da ähnliche Überlegungen wie bei der näherungsweisen Ermittlung eines Flächeninhalts im Folgenden häufig vorkommen werden, ist es sinnvoll, die verwendeten Begriffe allgemein (dh. ohne Rückgriff auf die anschauliche Vorstellung des Flächeninhalts) zu definieren. Wir sind von einer in einem Intervall [a; b] stetigen Funktion f ausgegangen, haben das Intervall in Teilintervalle zerlegt und zur erhaltenen Zerlegung eine Untersumme und eine Obersumme gebildet. Definition Unter einer Zerlegung Z des Intervalls [a; b] verstehen wir ein (n + 1)-Tupel Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n ) mit a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n ) eine Zerlegung von [a; b]. Die Längen der Teilintervalle [x 0 ; x 1 ], [x 1 ; x 2 ], …, [x n – 1 ; x n ] seien Δ x 1 , Δ x 2 , … , Δ x n . Ferner seien m 1 , m 2 , … m n Minimumstellen und M 1 , M 2 , … M n Maximumstellen von f in den jeweiligen Teilintervallen. Man setzt: Untersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z: U f (Z) = f(m 1 ) · Δ x 1 + f(m 2 ) · Δ x 2 + … + f(m n ) · Δ x n = ; i = 1 n f (m i ) · Δ x i Obersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z: O f (Z) = f(M 1 ) · Δ x 1 + f(M 2 ) · Δ x 2 + … + f(M n ) · Δ x n = ; i = 1 n f (M i ) · Δ x i Beachte : Das in dieser Definition verwendete Summenzeichen ist so definiert: ; i = 1 n a i = a 1 + a 2 + … + a n [Lies: Summe der a i für i gleich 1 bis n] In dieser allgemeinen Definition wird nicht verlangt, dass die Teilintervalle gleich lang sind und dass die Funktion f nur nichtnegative Werte annimmt. Δ x Δ 0 x x 2 … … x 1 x 0 Δ x 4 x n – 1 x n R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv