Mathematik verstehen 8, Schulbuch

117 7. 2 Di fferent ialgleichungen Wachstum bei Beschränkung Es sei N(t) die Größe einer wachsenden Population zum Zeitpunkt t. Bei linearem Wachsen geht man davon aus, dass die Änderungsrate N’(t) konstant ist, bei exponentiellem Wachsen hinge- gen, dass N’(t) direkt proportional zu N(t) ist. Beide Annahmen führen aber dazu, dass die Popu- lationsgröße N(t) irgendwann unrealistisch groß wird. Hält man es dagegen für zutreffend, dass die Populationsgröße N(t) durch eine Konstante K nach oben beschränkt ist, ist es besser anzu- nehmen, dass N’(t) direkt proportional sowohl zu N(t) als auch zum noch vorhandenen „Wachs- tumsfreiraum“ K – N(t) ist. Bezeichnen wir den Proportionalitätsfaktor mit a, liefert dies folgende Differentialgleichung N’(t) = a · N(t) · [K – N(t)] Diese Differentialgleichung beschreibt ein kontinuierliches logistisches Wachstum , das wir schon in Mathematik verstehen 6 (Seite 84) kennengelernt haben. Man kann zeigen, dass die Lösung dieser Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 die folgende Form hat: N(t) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · e –aKt Der typische Verlauf des Graphen einer solchen Lösungsfunktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Aufgaben 7.17 Zeige durch Nachrechnen, dass die Funktion N mit N(t) = K · N 0 ___ N 0 + (K – N 0 ) · e – aKt die Differential gleichung N’(t) = a · N(t) · [K – N(t)] mit der Anfangsbedingung N(0) = N 0 erfüllt und somit eine Lösung dieser Differentialgleichung ist! 7.18 Ermittle eine Lösungsfunktion der Differentialgleichung N’(t) = a · N(t) · [K – N(t)] für folgende Angaben und skizziere den Graphen der Lösungsfunktion! a) K = 500, N 0 = 100, a = 0,001 b) K = 500, N 0 = 200, a = 0,001 Schwingungen Es sei s(t) = r · sin( ω · t + φ ) die Elongation einer harmonischen Schwingung zum Zeitpunkt t. Man kann zeigen, dass die Funktion s der Differentialgleichung s’’(t) = – ω 2 · s(t) genügt. s’’(t) = – ω 2 · s(t) Aufgaben 7.19 Zeige, dass die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = a · sin( ω t + φ ) + b · cos( ω t + φ ) eine Lösung der Differentialgleichung s’’(t) = – ω 2 · s(t) ist! L N 0 0 K N(t) t L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv