Mathematik verstehen 8, Schulbuch

116 7 Di fferenzen- und Di fferent ialgleichungen 7. 09 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ genügt der angegebenen Differentialgleichung. Ermittle die Lösung dieser Differentialgleichung mit der angegebenen Anfangsbedingung für f(0)! a) f’(x) = 1 _ 2 , f(0) = 1 b) f’(x) = – 2 · f(x), f(0) = 1 _ 2 Lösung: a) f(x) = 1 _ 2 · x + d. Aus f(0) = 1 folgt d = 1. Somit gilt: f(x) = 1 _ 2 · x + 1. b) f(x) = c · e – 2x . Aus f(0) = 1 _ 2 folgt c = 1 _ 2 . Somit gilt: f(x) = 1 _ 2 · e –2x . Aufgaben 7.10 Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f: ℝ ¥ ℝ , die die angegebene Differentialgleichung mit der angegebenen Anfangsbedingung für f(0) erfüllt und skizziere ihren Graphen! a) f’(x) = – 3 _ 4 , f(0) = – 4 _ 5 b) f’(x) = f(x), f(0) = 1 _ 2 c) f’(x) = – 1 _ 2 · f(x), f(0) = –1 7.11 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ ‡ x ¦ c · a x (mit c * ℝ *, a * ℝ + ) ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x) (mit k * ℝ ). Drücke a durch k aus! 7.12 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k. Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.13 Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ ist eine Lösung der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x), wobei f(0) > 0 ist. Für welche Werte von k beschreibt f einen Wachstumsprozess, für welche einen Abnahmeprozess? 7.14 Es sei A(t) die Anzahl der Bakterien in einer Kultur zum Zeitpunkt t (t in Stunden). Die Funktion A erfüllt näherungsweise die Differentialgleichung A’(t) = 5 · A(t). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit.  Die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit.  Die Bakterienanzahl wächst linear mit der Zeit.  Die Bakterienanzahl wächst exponentiell mit der Zeit.  Die Bakterienanzahl verdoppelt sich ungefähr alle 5 Stunden.  7.15 Kreuze die beiden Funktionen an, die der Differentialgleichung f’’(x) = – f(x) genügen!  f(x) = x 2  f(x) = e x  f(x) = cos(x)  f(x) = sin(2x)  f(x) = sin(x) – cos(x) 7.16 Wird ein Körper mit der Temperatur A in einen Raum mit der konstant gehaltenen Temperatur B < A gebracht, so kühlt er ab. Ist T(t) die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t (in Minuten nach Beginn des Vorgangs), so nimmt die Temperaturdifferenz T(t) – B exponentiell ab. 1) Stelle eine Formel für T(t) auf, wenn die Differenz T(t) – B pro Minute um 1 _ 10 ihres Betrages sinkt! 2) Gib die Änderungsgeschwindigkeit T’(t) der Temperatur zum Zeitpunkt t an! 3) Prüfe, ob T die Differentialgleichung T’(t) = k · T(t) für ein k * ℝ erfüllt! L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv