Mathematik verstehen 8, Schulbuch

115 7. 2 Di fferent ialgleichungen 7. 2 Differentialgleichungen Lineares und exponentielles Wachsen bzw. Abnehmen Manche Prozesse lassen sich auch mit Hilfe von Ableitungen beschreiben. Zum Beispiel: Lineares Wachsen (Abnehmen): P(t) = k · t + d w P’(t) = k Exponentielles Wachsen (Abnehmen): P(t) = c · e kt w P’(t) = c · k · e kt = k · c · e kt = k · P(t) Lineares Wachsen (Abnehmen) lässt sich also durch die „Differentialgleichung“ P ’(t) = k mit der „Anfangsbedingung“ P(0) = d beschreiben (Wachsen für k > 0, Abnehmen für k < 0). Exponentiel- les Wachsen (Abnehmen) lässt sich durch die „Differentialgleichung“ P’(t) = k · P(t) mit der „An- fangsbedingung“ P(0) = c (Wachsen für k > 0, Abnehmen für k < 0). Allgemein versteht man unter einer Differentialgleichung für eine Funktion f: x ¦ f(x) eine Glei- chung, in der (erste oder höhere) Ableitungen von f auftreten. Jede Funktion f, für die die vorge- gebene Differentialgleichung gilt, nennt man eine Lösungsfunktion oder kurz Lösung der Diffe- rentialgleichung. Durch Angabe geeigneter Anfangsbedingungen lassen sich spezielle Funktio- nen aus der Menge aller Lösungen auswählen. Beachte : Die Lösungen einer Differentialgleichung sind keine Zahlen, sondern Funktionen. Anhand der obigen Überlegungen zum linearen und exponentiellen Wachsen sieht man: Eine lineare Funktion f mit f(x) = k · x + d genügt der Differentialgleichung f’(x) = k (mit k * ℝ ). Eine Exponentialfunktion f mit f(x) = c · e kx genügt der Differentialgleichung f’(x) = k · f(x) (mit k * ℝ ). Sofern f in einem Intervall definiert und differenzierbar ist, sind die genannten linearen bzw. ex- ponentiellen Funktionen sogar die einzigen Lösungen der jeweiligen Differentialgleichung. Dies wird in dem folgenden Satz bewiesen. Satz Für eine in einem Intervall definierte, differenzierbare Funktion f gilt: (1) f’(x) = k É f(x) = k · x + d (k, d * ℝ ) (2) f’(x) = k · f(x) É f(x) = c · e k · x (k, c * ℝ ) Beweis : Jede der beiden Behauptungen ist eine Äquivalenz und muss daher in beiden Richtun- gen bewiesen werden. (1)  Es gilt: f(x) = k · x + d w f’(x) = k .  Es gilt: f’(x) = k w f(x) = : f’(x)dx = : kdx = k · x + d (2)  Es gilt: f(x) = c · e kx w f’(x) = c · k · e kx = k · c · e kx = k · f(x)  Wir zeigen jetzt, dass auch umgekehrt gilt: f’(x) = k · f(x) w f(x) = c · e k · x . Dazu betrachten wir die Funktion g mit g(x) = f(x) · e – kx und berechnen deren Ableitung: g’(x) = f’(x) · e – kx + f(x) · (– k) · e – kx = [f’(x) – k · f(x)] · e – kx Da laut Voraussetzung f’(x) – k · f(x) = 0 gilt, folgt daraus: g’(x) = 0. Da g wie f in einem Intervall definiert ist, muss g eine konstante Funktion sein: g(x) = f(x) · e – kx = c (mit c * ℝ ) Daraus folgt: f(x) = c · e kx .  L kompakt Seite 118 Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv