Mathematik verstehen 8, Schulbuch

114 7 Di fferenzen- und Di fferent ialgleichungen Will man die Größe einer Population nicht nur in (ganzen) Jahren messen, sondern in beliebigen Zeitabständen Δ t, ist es zweckmäßig, P(t) statt P t zu schreiben und die Populationsgröße als Funktion P: ℝ 0 + ¥ ℝ aufzufassen. Zum Beispiel: lineares Wachsen (Abnehmen): P(0) = d und P(t + Δ t) = P(t) + k · Δ t exponentielles Wachsen (Abnehmen): P(0) = c und P(t + Δ t) = P(t) · a Δ t Daraus kann man der Reihe nach P(0), P( Δ t), P(2 · Δ t), P(3 · Δ t), P(4 · Δ t), … berechnen. Aufgaben 7. 04 Für ein bestimmtes Konto wurden die monatlichen Endkontostände (in €) im Laufe eines Jahres in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Jän Feb März April Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez 2000 1750 1 500 1 250 1 000 750 500 250 0 – 250 – 500 –750 Gib eine Termdarstellung und eine rekursive Darstellung des Endkontostandes K n im n-ten Monat für n = 1, 2, …, 12 an! 7. 05 Ein Kapital von A Euro wird jährlich mit p% verzinst. Es ist K n das Kapital (in €) nach n Jahren für n = 0, 1, 2, 3, … . 1) Gib eine Anfangsbedingung und eine Rekursionsgleichung für K n an! 2) Berechne K n für n = 0, 1, 2, 3, 4, wenn A = 1 000 und p = 2 ist! 7. 06 Für eine Größe G gilt: G(0) = 10 und G(n + 1) = a · G(n) + 6 (mit n * N ; a * R + ) a) Wie groß ist G(3)? b) Berechne die Werte G(n) für n = 0, 1, 2, 3, 4, falls a = 1,5, a = 1 bzw. a = 0,1 ! c) Zeige, dass die Termdarstellung G(n) = 6 + (4 – 10a) · a n ___ 1 – a für a ≠ 1 die rekursive Darstellung erfüllt! d) Finde eine Termdarstellung für G(n) für den Fall a = 1! 7. 07 Für den Wert W n (in €) eines Lieferwagens n Jahre nach dem Kauf gilt: W n = 38800 · 0,75 n . 1)  Gib den Kaufpreis des Lieferwagens und den jährlichen prozentuellen Wertverlust an!  Gib eine rekursive Darstellung für W n an! 2)  Berechne den Wert des Autos nach 0, 1, 2, 3, 4 Jahren!  Gib an, wie viel an Wert das Auto im ersten Jahr bzw. im vierten Jahr verliert! 3) Der Besitzer beschließt, den Lieferwagen wieder zu verkaufen, wenn sein Wert unter ein Fünftel des Neuwertes gesunken ist. Ermittle, nach wie vielen Jahren das der Fall ist! Weitere Rekursionstypen Es kann sein, dass bei einer rekursiven Darstellung ein Folgenglied aus mehreren vorangehenden Gliedern berechnet wird, wobei mehrere Anfangsbedingungen nötig sind. 7. 08 Die „Fibonacci-Folge“ ist so definiert: f 0 = 0, f 1 = 1 und f n + 1 = f n – 1 + f n für n = 1, 2, 3, 4, … (vgl. Mathematik verstehen 6, Seite 142). Gib die ersten zehn Glieder dieser Folge an! Lösung: f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 0 + 1 = 1, f 3 = 1 + 1 = 2, f 4 = 1 + 2 = 3, f 5 = 2 + 3 = 5, f 6 = 3 + 5 = 8, … Setze selbst fort! R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv